高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修学案

正切函数的图像与性质

【学习目标】

了解单位圆内的正切线画正切曲线的方法，掌握正切曲线的特征、正切函数的性质.

【学习重难点】

重点：正切函数的图像及其主要性质.

难点: 利用正切线画出函数图像，对直线x=，是y=tanx的渐近线的理解，对单调性的理解.

【学习过程】

一、复习

1．诱导公式2

sin(x+π)=_______  cos(x+π)=_________  tan(x+π）=_________

2．正切线的画法

终边在第一、四象限                        终边在第二、三象限

二、新课

知识1 正切函数的图像

问题1： 你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像的经验，以同样的方法研究正切函数的图像？

类比正弦函数我们利用单位圆中的_______做出正切函数图像：

思路点拨

第一步：作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆;

第二步：找横坐标（把x轴上　到　　到这一段分成8等份）;

第三步：把单位圆右半圆中作出_____;

第四步：找交叉点;

第五步：连线.

这样我们得到正切函数的图像.

问题2：正切函数的周期性是怎么样的？那个诱导公式能直接反应正切函数的周期？

由诱导公式____________________,知道正切函数的周期为π

把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”

知识点2  正切函数的性质

观察正切函数的图像，回答下列问题：

问题3：正切函数的奇偶性_______

证明：

问题4：正切函数单调区间________

思考：1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？

      2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

问题5：正切函数的值域_________

问题6：正切函数的渐近线_________ 正切函数的对称中心________

知识点3 正切函数图像的简图画法

问题7:类似正弦函数、余弦函数的“五点作图法”，我们可以来探究一下正切函数的简图如何画出，需要由哪几个条件确定？

一个周期内：

“三点”_________、_________、_________

“两线”________、__________

 右边空白处画出一个周期内的简图

例题讲解

例1．求函数y＝的定义域 ，周期和单调区间.

例2　不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

                      （2）

 变式训练  不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

                          （2）

三、小结

1． 正切函数的图像

2． 正切函数的性质

定义域________           值  域________         周  期________          

奇偶性________      单调区间__________          渐近线方程__________    

对称中心____________

四、课堂作业                          

1．函数的定义域，周期及单调区间.                                

2．不用求值比较tan1,tan2,tan3的大小.

3．画出的图像，求出其周期.

五、课后练习与提高

选择题

1．在定义域上的单调性为（    ）.

A．在整个定义域上为增函数   

B．在整个定义域上为减函数

C．在每一个开区间上为增函数

D．在每一个开区间上为增函数

2．下列各式正确的是（    ）.

A．    B．

C．    D．大小关系不确定

3．若,则（     ）.

A．    B．

C．      D．

填空题

4．函数的定义域为                 .

5．函数的定义域为                 .

解答题

6．求 函数的定义域，周期及单调区间。