2022年安徽省芜湖市南陵县初中学业水平模拟考试数学试题（带解析）

这是一份2022年安徽省芜湖市南陵县初中学业水平模拟考试数学试题（带解析），共29页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，图中三视图对应的几何体是等内容，欢迎下载使用。

2022年安徽省芜湖市南陵县初中学业水平模拟考试
数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．的倒数是（       ）
A．2022 B． C． D．
2．计算的结果是（       ）
A． B． C． D．
3．据猫眼实时数据显示，电影《长津湖》在上映第12天，累计票房正式突破40.2亿，用科学记数法可表示为（　　）
A．40.2×108 B．4.02×109 C．40.2×109 D．4.02×1010
4．图中三视图对应的几何体是(　 　)．

A． B． C． D．
5．若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（       ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
6．如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（       ）

A． B． C． D．
7．若点在反比例函数的图象上，则抛物线与轴的交点个数是（       ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
8．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图，下列结论不正确的是（       ）

A．众数是10 B．中位数是9 C．平均数是9 D．方差是8
9．已知a，b，c是不完全相等的任意实数，若，，，则关于x，y，z的值，下列说法正确的是（       ）
A．都大于0 B．至少有一个大于0 C．都小于0 D．至多有一个大于0
10．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且．点E，F分别在边AB，AC上，且，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DFAB，则CM的长为（   ）

A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．计算：＝________
12．分解因式：__．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________

14．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为______，的值为______．

评卷人
得分



三、解答题
15．解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．
16．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．


（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
17．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）

18．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆：

(1)根据图中的规律，第5个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________；
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．
①用含a的代数式分别表示第1个正方形中、第3个正方形中阴影部分的面积（结果保留）；
②若，请直接写出第2022个正方形中阴影部分的面积 （结果保留）．
19．公司员工甲去距离单位6千米的社区医院接种新冠疫苗，去时骑自行车，在医院等候和接种疫苗花了2小时，回来时发现时间可能来不及了，改乘汽车返回公司，已知其骑自行车的速度不超过，汽车的速度是骑自行速度的1.5倍，并且公司规定在离开之时算起2.5小时内需返回公司．问甲能否规定时间内及时返回公司？
20．如图，□的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．

(1)求□对角线的长；
(2)求证：□为矩形．
21．为更好的了解中学生课外阅读的情况，学校团委将初一年级学生一学期阅读课外书籍量分为A（3本以内）、B（3﹣﹣6本）、C（6﹣﹣10本）、D（10本以上）四种情况进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图所给信息解答上列问题：

（1）在扇形统计图中C所占的百分比是多少？
（2）请将折线统计图补充完整；
（3）学校团委欲从课外阅读量在10本以上的同学中随机邀请两位参加学校举办的“书香致远墨卷至恒”主题读书日的形象大使，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位同学恰好都是女生的概率.
22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示）
（2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．

23．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P为BC边的中点，直线a经过点A，过B作BE⊥a，垂足为E，过C作CF⊥a，垂足为F，连接PE、PF．
（1）当点B、P在直线a的异侧时，延长EP交CF于点G，猜想线段PF和EG的数量关系为_____；
（2）如图2，直线a绕点A旋转，当点BP在直线a的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）直线a绕点A旋转一周的过程中，当线段PF的长度最大时，请判断四边形BEFC的形状，并求出它的面积．


参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据倒数定义解答．
【详解】
解：-2022的倒数是，
故选：D．
【点睛】
此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
先计算乘方，再计算除法，即可求解．
【详解】
解：．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的乘方，同底数相除的法则是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到4的后面，所以
【详解】
解：40.2亿
故选B
【点睛】
本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4．B
【解析】
【分析】
由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆柱体，由此即可得出结论．
【详解】
解：由主视图可以推出这个几何体是上下两个大小不同柱体，
从主视图推出这两个柱体的宽度不相同，
从俯视图推出上面是圆柱体，直径小于下面柱体的宽．
由此可以判断对应的组合体是B．
故选：B
【点睛】
本题考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状
5．A
【解析】
【分析】
先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】
解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点睛】
本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB 在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，

同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7．C
【解析】
【分析】
根据在反比例函数的图象上，求出，将代入，得，然后利用根的判别式即可判断．
【详解】
解：在反比例函数的图象上，
，
解得：，
将代入，
，
根据根的判别式：，
则抛物线与轴的交点个数是0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数、二次函数，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，图象根轴没有交点．
8．D
【解析】
【分析】
根据给出的折线统计图确定本数据，根据众数定义可判定A，根据中位数定义可判定B，根据平均数可判定C，根据方差可判定D求解即可．
【详解】
解：有题目中折线统计图可知，每天跑步圈数数据为7、10、9、9、10、8、10．
A、该组数据中10出现的次数最多，为3次，所以众数为10，结论正确，故A不符合题意；
B、将数据按照从小到大排列，依次为7、8、9、9、10、10、10，位数位于，排序后第四个数为9，中位数为9，结论正确，故B不符合题意；
C、平均数应为，结论正确，故C不符合题意；
D、由C可知平均数为9，方差应为，结论不正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查众数、中位数、平均数、方差的求法，结合了折线统计图的应用，重点在于熟练掌握各类数据定义进而求出数值．
9．B
【解析】
【分析】
观察x，y，z特点可以发现，将x，y，z相加结果为0，再结合选项可判断出结果．
【详解】
解：∵ ，， ，
∴
=
=0
A、若x，y，z都大于0，则和大于0，不符合题意；
B、因为x，y，z和为0，所以其中至少有一个大于0，符合题意；
C、若x，y，z都小于0，则和小于0，不符合题意；
D、若x，y，z中有两个大于0，另外一个小于0结果也可为０，不符合题意．
【点睛】
本题考查了反证法，考查学生的分析解决问题的能力．
10．A
【解析】
【分析】
根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得的长．
【详解】
解：等边三角形边长为2，，
∴，，
等边三角形中，，
，
，
，
∴∠BED=180°-∠BDE-∠B=90°，
，
∴，
如图，连接，则中，，

，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，
中，，
∴，
∵EM=FM，DN=FN，
∴MN是△EDF是中位线，
∴，
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
12．##
【解析】
【分析】
先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握是解题的关键．
13．D（，1）
【解析】
【分析】
先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】
解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°−120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（−2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（−，1）．
故答案为（−，1）．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
14．     2     12
【解析】
【分析】
设直线与x轴的交点为D，则D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根据OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则=，，是方程=的两个根，利用OA=OC和一元二次方程根与系数的关系定理计算即可．
【详解】
设直线与x轴的交点为D，
∵
∴D（2b,0），C（0，b），
∴OD=2b，OC=b，
∴tan∠OCA=，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴tan∠OCA=tan∠CAO=2
故答案为：2；
设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则，是方程=的两个根，
∴，是方程的两个根，
∴+=2b，=2k，
∴=，
∵OA=OC，
∴
∴，
解得b=，
∴+=，
∴=，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得=4或=-4（舍去）
∴==6，
∵=2k，
∴2k=24，
∴k=12，
故答案为：12；
故答案为：2,12．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的相交，一元二次方程的解法，根与系数的关系定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，灵活用等腰三角形的性质构造等式，构造一元二次方程是解题的关键．
15．，6
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案．
【详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
的最小整数为，最大整数为8，
的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
16．（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【解析】
【分析】
（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】
（1）位似图形如图所示


（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】
题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
17．2.3km
【解析】
【分析】
由题意中已知方位角分别求出，，，得到km，在Rt△ABC中求AC即可．
【详解】
解：如图，过点A作，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，
∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，
∴∠NAC＝75°，
∴∠CAM＝15°，
∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，
∴∠MAB＝45°，
∴∠MBA＝45°，
∵C点在B点的北偏西45°方向，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，
∵C点在D点的北偏东22.5°方向，
∴∠PDC＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴，
∴，
由题可得DB＝2km，
∴BC＝2km，
在Rt△ABC中，，BC＝2，
∴ ，即，
∴km．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形在实际问题中的应用，解题关键是弄清题意，准确分析题目中给出的方位角，并利用三角函数解直角三角形．
18．(1)25，n2
(2)①第1个正方形中、第3个正方形中阴影部分的面积都为；②100-25π
【解析】
【分析】
（1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数；
（2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②将代入①中求解即可．
(1)
第1个图形内圆的个数是1，
第2个图形内圆的个数是4，
第3个图形内圆的个数是9，
第4个图形内圆的个数是16，
…
第n个正方形中圆的个数为n2个；
故答案为：25，n2；
(2)
①第1个图中的阴影部分面积为 =，
第3个图中的阴影部分面积为
所以第1个正方形中、第3个正方形中阴影部分的面积都为：
②由①可知每个图形中阴影部分的面积相等，则当时，第2022个正方形中阴影部分的面积为：100-25π
故答案为：100-25π
【点睛】
本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键．
19．甲不能在规定时间内及时返回公司．
【解析】
【分析】
数形结合，找到速度、时间、路程三者之间的等量关系．
【详解】
解：设员工甲骑自行车的速度为，则汽车的速度为，假如员工刚好在出发后2.5小时回到公司，则

解得
检验：当，，
∴是方程的解．
又∵
答：甲不能在规定时间内及时返回公司．
解法二：设员工甲骑自行车的速度为，则汽车的速度为，则员工甲路上来回所花的时间
∵
∴当时，随的增大而减小
∵．
∴
∴员工甲来回路上加等候打针时间．
∴甲不能在规定时间内及时返回公司．
【点睛】
本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确找出等量关系题意，列出分式方程求解．
20．(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用弧相等，由圆周角定理推论推出，由相似三角形的性质可求的长度，再利用平行四边形的性质可求出的长度；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得证．
(1)
解：∵是直径，，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
(2)
由（1）可知：，
∴是直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴□为矩形．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理．理解和掌握圆周角定理的推论及相似三角形判定及性质并能进行灵活应用是解决本题的关键．
21．（1）22%；（2）画图见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）用整体1减去A、B、D所占的百分比，剩下的就是图中C所占的百分比；
（2）用A的人数除以所占的百分比，求出本次抽样调查的总人数，再分别求C和D的女生数，从而补全统计图；
（3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求出答案．
【详解】
（1）在扇形统计图中C所占的百分比是：1-20%-52%-6%=22%；
（2）小丽本次抽样调查的共有人数是：=50（人）；
C的女生有：50×22%-5=6（人），
D的女生有：50×6%-1=2（人），
补图如下：

（3）由树状图知，

随机抽取两名学生做形象大使共有6种可能人，恰好抽到两位女生的有2种，因此恰好抽到的两位都是女生的概率是．
【点睛】
此题考查了折线统计图和扇形统计图以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4a）；（2）m＜﹣3或m＞5；（3）当n＝时，S取得最大值，最大值为．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求解即可．
（2）分两种情形：点P在对称轴的右侧或左侧，分别构建不等式求解即可．
（3）过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】
解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标（1，﹣4a），对称轴x＝1．
（2）∵a＞0，抛物线的对称轴x＝1，
∴当x≥1时，y随x的值的增大而增大，
当点P（m，y1）在对称轴的右侧，
∵y1＞y2，
∴m＞5．
当P（m，y1）在对称轴的左侧时，即m＜1时，
作点P关于对称轴的对称点Q（2﹣m，y1），
∵y1＞y2，
∴2﹣m＞5，
解得m＜﹣3，
综上所述，m的取值范围为m＜﹣3或m＞5．
（3）a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
由y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
由x＝0，得到y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，

∴，
∵A（﹣1，0），
∴F（﹣1，﹣4），
∴AF＝4，
设D（x，x2﹣2x﹣3），则G（x，x﹣3），
∴DG＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴，
∵，
∴x＝时，S取得最大值为，
此时D为（，﹣），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴n＝，
故当n＝时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
23．（1）；（2）成立，见解析；（3）矩形；4
【解析】
【分析】
（1）证，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）延长交的延长线于，同（1）得，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（3）连接，由等腰三角形的性质得，设线段的中点为，得点、都在以线段为直径的圆上，当时，取得最大值，此时四边形是正方形，则四边形是矩形，即可求解．
【详解】
（1），理由如下：
，，
，
，，
点为边的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论还成立，证明如下：
延长交的延长线于，如图2所示：
同（1）得：，
，
，
，
；
（3）连接，如图3所示：
，点为边的中点，
，，
，
设线段的中点为，
，
，
点、都在以线段为直径的圆上，
当时，取得最大值，此时四边形是正方形，
则四边形是矩形，，
四边形的面积正方形的面积．


【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．