2022年北京人大附中分校中考数学一模试卷(含解析 )

这是一份2022年北京人大附中分校中考数学一模试卷(含解析 )，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京人大附中分校中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分






一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道.将59000用科学记数法表示应为(    )
A. 0.59×105 B. 5.9×105 C. 5.9×104 D. 5.9×103
3. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是(    )
A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 三棱锥
4. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为(    )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
5. 下列关于数轴的叙述，正确的有(    )个．
(1)实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则mn<0，2m+n<0；

(2)数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为1；
(3)数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且|d−5|=|d−c|，则D点的位置介于C、O之间；

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如果a2+2a−1=0，那么(a−4a)⋅a22a−4代数式的值是(    )
A. 1 B. 2 C. 12 D. −1
7. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC//OP交⊙O于点C.若∠B=70°，则∠OPC的度数为(    )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
8. 为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡(每小组打卡时间为1分钟)，然后跑步到C点，……，最后到达终点(假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的)，“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C.若“方程组”出发的时间为x(单位：分钟)，在点A与点C之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y(单位：米)，它们的函数图象如图，则下面判断不正确的有(    )个．
(1)当x=2时，“函数组”恰好到达B点；
(2)“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟；
(3)两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟；
(4)图中M点表示“方程组”在B点打卡结束，开始向C点出发；
(5)出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若代数式2x+4有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分解因式：2ab2−8ab+8a=______．
11. 方程2xx−2−1=52−x的解为______．
12. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38．
(1)用含x的式子表示y：______．
(2)y与x满足______函数关系．(从“一次”函数，“反比例”函数，“二次函数”中选一个)
13. 下列说法正确的是______．
(1)已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116.若n为整数，且n<2021 (2)一组数据：1，2，2，3，若再添加一个数据2，则平均数和方差均不发生变化；
(3)如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，这组数据的中位数是36.6．

14. 某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组：______．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为______．


16. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”.假设待检测的总人数是2m(m为正整数).将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测1次)，如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组2m−1个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．
(1)n的值为______；
(2)若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值______．


三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）
17. 计算：(12)−1+27+|3−1|−2sin60°．







18. 解不等式组：5+2(x−3)≤33−x2






19. 关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．







20. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．
∴OA⊥AP，______⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．








21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE=DE=2BC.CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．
(1)求证：四边形AFGD为菱形；
(2)连接AG，若BC=2，tanB=32，求AG的长．










22. 某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下(数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)：

b.初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
c.初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：

平均数
中位数
方差
初二年级
80.8
m
96.9
初三年级
80.6
86
153.3
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
(2)写出表中m的值；
(3)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”.请判断A同学是______(填“初二”或“初三”)年级的学生，你判断的理由是______．
(4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为______．







23. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象与直线l1：y=13x+k(k>0)交于点A，与直线l2：x=k交于点B，直线l1与l2交于点C．
(1)当点A的横坐标为1时，求此时k的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y=2x(x>0)的图象在点A、B之间的部分与线段AC，线段BC围成的区域(不含边界)为W．
①当k=3时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内只有1个整点，直接写出k的取值范围．







24. 如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
(1)求证：FM=FP；
(2)若点P是FG的中点，cos∠F=35，⊙O半径长为3，求EM长．










25. 有这样一个问题：探究函数y=2x−1−3的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数y=2x−1−3的图象与性质进行了探究．
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=2x−1−3中自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x
……
−3
−2
−1
0
12
32
2
3
4
5
……
y
……
−72
−113
−4
−5
−7
m
−1
−2
−73
−52
……
直接写出m的值；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．
②请再写出此函数的一条性质：______．
(5)已知不等式kx+b<2x−1−3的解集为14，则k+b的值为______．







26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,−74)，点B(1,14).
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当−2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为−2m+1.已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范图；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c(−2≤x<13)的图象交点个数及对应的m的取值范围．








27. 如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P 作PQ⊥AP交CD边于点Q．

(1)求证：PA=PQ；
(2)用等式表示PB2、PD2、AQ2之间的数量关系，并证明；
(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为2，则AQ的中点M移动的路径长为______(直接写出答案)．







28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1−x2|≥|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|.
(1)已知点A(−12,0)，B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：______；
②求点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)已知点C是直线y=12x+2上的一个动点，
①若点D的坐标是(0,1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．







答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.【答案】C

【解析】解：59000=5.9×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】B

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选B．
根据主视图和左视图确定出该几何体是柱体，再由俯视图确定出该几何体是三棱柱．
此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

4.【答案】C

【解析】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：(6−2)×180°=720°．
故选：C．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．

5.【答案】A

【解析】解：(1)由数轴可知，m<0 ∴mn<0，
∵m>−1，n>2，
∴2m>−2，
∴2m+n>0，
故(1)叙述错误；
(2)∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，
∴m+m+2=0，
∴m=−1，
故(2)叙述错误；
(3)∵|d−5|=|d−c|，
∴d−5+d−c=0，
∴d=5+c2，
∴D点是线段BC的中点，
∴D点的位置介于B、O之间，
故(3)叙述错误；
故选：A．
(1)根据实数m，n在数轴上的对应点的位置和有理数的加法和乘法的计算法则计算即可得到结论；
(2)根据数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，可得m+m+2=0，依此即可求解；
(3)根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：(a−4a)⋅a22a−4
=a2−4a⋅a22(a−2)
=(a+2)(a−2)a⋅a22(a−2)
=a2+2a2，
∵a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=12．
故选：C．
先化简，再将a2+2a−1=0变形后整体代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，把所求式子化简及整体思想的应用．

7.【答案】B

【解析】解：如图，连接OC，

∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=70°，
∵BC//OP，
∴∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，
∴∠APO=20°，
在△AOP和△COP中，
AO=CO∠AOP=∠COP=70°OP=OP，
∴△AOP≌△COP(SAS)，
∴∠APO=∠OPC=20°，
故选：B．
由切线的性质可得∠PAO=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

8.【答案】B

【解析】解：(1)由图可知，当x=2时，“函数组”恰好到达点B，故(1)正确；
(2)由图可知，3～4分钟时，”方程组“打卡，”函数组”1分钟行走150米，则“函数组”的速度是150米/分钟，2～3分钟时，“函数组”“打卡，”方程组“1分钟行走200米，则方程组的速度是200米/分钟，故(2)正确；
(3)方程组出发前相距300米，所以他们从A点出发的时间间隔为2分钟，故(3)错误；
(4)由图可知，M点开始“函数组”和“方程组”之间的距离在慢慢减少，说明“方程组”在B点打卡结束，在追赶“函数族”组，故(4)正确；
(5)“方程组”从出发点到打卡用时3分钟，所以AB的距离为600米，M点表示方程组打卡结束到C点赶上“函数组”，用时3分钟，所以BC的距离为600米，故(5)错误．
故选：B．
根据函数的图象和已知条件分别分析可得答案．
本题考查一次函数的实际应用，结合题意掌握理解函数图象，利用基本行程问题解决问题是关键．

9.【答案】x≥−2

【解析】解：∵2x+4≥0，
∴x≥−2．
故答案为：x≥−2．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】2a(b−2)2

【解析】解：2ab2−8ab+8a
=2a(b2−4b+4)
=2a(b−2)2．
故答案为：2a(b−2)2．
直接提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

11.【答案】x=−7

【解析】解：2xx−2−1=52−x，
2x−(x−2)=−5，
解得：x=−7，
检验：当x=−7时，x−2≠0，
∴x=−7是原方程的根，
故答案为：x=−7．
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．

12.【答案】y=53x  一次

【解析】解：(1)∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有(x+y)个棋，
∵黑棋的概率是38，
∴可得关系式xx+y=38，
∴x和y满足的关系式为y=53x.
故答案为：y=53x；
(2)y与x满足一次函数关系．
故答案为：一次．
(1)根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有(x+y)个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
(2)根据一次函数的定义即可求解．
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．

13.【答案】(1)

【解析】解：(1)∵442=1936，452=2025，而1936<2021<2025，
∴44<2021<45，
又∵n<2021 ∴n=44，
故(1)说法正确，符合题意；
(2)原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，
原来数据的方差=14×[(1−2)2+2×(2−2)2+(3−2)2]=12，
添加数字2后的方差=15×[(1−2)2+3×(2−2)2+(3−2)2]=25，故方差发生了变化．
故(2)说法不正确，不符合题意；
(3)这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃.中位数为36.8℃．
故(3)说法不正确，不符合题意．
(1)根据算术平方根的定义，估算无理数2021的大小即可．；
(2)依据平均数、方差的定义和公式求解即可；
(3)根据统计图和中位数的定义，即可求出答案．
本题考查估算无理数的大小，方差、平均数，中位数的定义，折线统计图，熟练掌握相关概念和公式，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．

14.【答案】x+y=400x10−10=y5

【解析】解：由题意可得，
x+y=400x10−10=y5，
故答案为：x+y=400x10−10=y5．
根据两队共完成了面积为400m2区域的绿化，可以得到方程x+y=400，再根据队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务可得方程x10−10=y5，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．

15.【答案】55

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD，∠B=∠D=∠C=90°，
∴CE=CD−DE=8−5=3，
由折叠的性质得：FE=DE=5，AF=AD，
∴CF=EF2−CE2=52−32=4，
设AD=BC=AF=x，则BF=x−4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，
解得：x=10，
∴AD=10，
∴AE=AD2+DE2=102+52=55；
故答案为：55．
由折叠的性质得出FE=DE=5，AF=AD，由勾股定理得出CF=4，设AD=BC=AF=x，则BF=x−4，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出AD=10，再由勾股定理即可得出答案．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

16.【答案】7  2、3、4

【解析】解：(1)由题意可得，第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
所以n=1+2+2+2=7；
故答案为：7；

(2)由(1)可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可，
经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，
则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后4个人进行检查，
可能的结果如下图所示：

所以感染者人数可能的取值为2，3，4；
故答案为：2、3、4．
(1)由图可计算得到n的取值；
(2)当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此得到所有可能的结果．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是正确理解题意，分析问题能力与逻辑推理能力，属于中档题．

17.【答案】解：(12)−1+27+|3−1|−2sin60°
=2+33+3−1−2×32
=2+33+3−1−3
=1+33．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：解不等式5+2(x−3)≤3得：x≤2，
解不等式3−x21，
则不等式组的解集为1
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−2)2−4(3m−2)≥0，
解得m≤1，
所以m的取值范围为m≤1；
(2)设方程的另一根为x2，则4x2=2．
所以x2=12．
即方程的另一根为12．

【解析】(1)利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(3m−2)≥0，然后解不等式即可；
(2)由根与系数的关系求得答案．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

20.【答案】OBP  90  直径所对的圆周角是直角  OB  过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线

【解析】证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．
故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．
根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE的中点为G，
∴DE=2DG，
∵CD的中点为F，
∴FG是△DFG的中位线，
∴CE=2FG，FG//CE，
∴FG//AD，
∵CE=DE=2BC，
∴FG=DG=BC，
∴AD=FG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∵FG=DG，
∴四边形AFGD为菱形；
(2)解：连接AG交DF于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADO，AD=BC=2，
∵四边形AFGD为菱形，
∴AG⊥DF，AG=2AO，
在Rt△ADO中，tanB=32，
∴tan∠ADO=AODO=32，
∴设AO=3x，DO=2x，
∵AO2+DO2=AD2，
∴(3x)2+(2x)2=4，
∴x=21313或x=−21313(舍去)，
∴AG=2AO=41313，
∴AG的长为41313．

【解析】(1)利用平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据中点的定义可得DE=2DG，再根据三角形的中位线定理可得CE=2FG，FG//CE，从而可得FG//AD，FG=DG=BC，进而可得AD=FG，即可解答；
(2)连接AG交DF于点O，根据平行四边形的性质可得∠B=∠ADO，AD=BC=2，再根据菱形的性质可得AG⊥DF，AG=2AO，然后在Rt△ADO中，利用锐角三角函数的定义设AO=3x，DO=2x，从而根据勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．

22.【答案】初二  若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意  225

【解析】解：(1)补全图形如下：

(2)由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，
所以m=80+812=80.5；
(3)A同学是初二年级的学生，
理由：由表可知，初二年级的中位数为80.5，初三年级的中位数86，
若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前．
所以A同学是初二年级的学生．
故答案为：初二，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意．
(4)估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为600×6+940=225(人)，
故答案为：225．
(1)先根据总人数为40求出70≤x<80的人数，继而补全图形；
(2)根据中位数的定义求解可得；
(3)利用中位数的意义求解可得；
(4)利用样本估计总体思想求解可得．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握根据频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的概念和意义、利用样本估计总体的能力．

23.【答案】解：(1)当x=1时，y=2x=2，
∴A(1,2)，
把A(1,2)代入y=13x+k中，得2=13+k，
∴k=53；

(2)①当k=3时，则直线l1：y=13x+3，与直线l2：x=3，
当x=3时，y=13x+3=4，
∴C(3,4)，
作出图象如图1：

∴区域W内的整点个数为3；
②如图2，当直线l1：y=13x+k过(2,3)点，区域W内只有1个整点，

此时，3=13×2+k，则k=73，
当直线l1：y=13x+k过(0,2)点，区域W内没有整点，
此时，2=0+k，则k=2，
∴当2 当整点为(1,1)时，
k<1且x=1时，13x+k<1，即13+k<1，
解得k<23，
∵k>0，
∴0 故答案为：0
【解析】(1)由反比例函数解析式求出A点的坐标，再把A点坐标代入一次函数y=13x+k中求得k；
(2)①根据题意作出函数图象便可直接观察得答案；
②找出临界点作两直线，进行比较便可得k的取值范围．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，正确画出函数图象，数形结合，是解答本题的关键．

24.【答案】(1)证明：连接OP，
∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点，
∴∠CEF=90°，
∴∠C+∠CME=90°，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OPF=90°，
∴∠FPM+∠OPC=90°，
∵OC=OP，
∴∠C=∠OPC，
∴∠FPM=∠CME，
∵∠CME=∠FMP，
∴∠FMP=∠FPM，
∴FM=FP；
(2)解：∵∠OEF=90°，
∴∠G+∠F=90°，
∵∠GOP+∠G=90°，
∴∠GOP=∠F，
∴cos∠GOP=cos∠F=35，即OPOG=35，
∵OP=3，
∴OG=5，
∴PG=OG2−OP2=4，
∵点P是FG的中点，
∴PF=PG=4，
∴GF=8，
∵cos∠F=35，
∴EFFG=35，
∴EF=245，
∴EM=EF−FM=45．

【解析】(1)连接OP，根据垂径定理得到∠CEF=90°，根据切线的性质得到∠OPF=90°，根据同角的余角相等得到∠FMP=∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
(2)根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

25.【答案】x≠1  当x>1时，y随x的增大而减小，图象关于(1,−3)成中心对称(答案不唯一)  −13

【解析】解：(1)当x−1≠0时，x≠1，
故答案为：x≠1；
(2)当x=32时，y=232−1−3=1，
∴m=1；
(3)如图：

(4)当x>1时，y随x的增大而减小，
图象关于(1,−3)成中心对称(答案不唯一)，
故答案为：当x>1时，y随x的增大而减小，图象关于(1,−3)成中心对称(答案不唯一)，
(5)由(2)中表格知，图象过(2,−1)，(4,−73)，

∴直线y=kx+b经过点(2,−1)，(4,−73)，
∴2k+b=−14k+b=−73，
∴k=−23b=13，
∴k+b=−13，
故答案为：−13．
(1)根据分式有意义知，分母不为0即可；
(2)将x=32代入y=2x−1−3，计算即可；
(3)通过描点、连线可得图象；
(4)根据图象，可得函数的性质；
(5)根据不等式的解集可得直线y=kx+b经过点(2,−1)，(4,−73)，代入解方程即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数自变量的取值范围和函数图象的画法，解题的关键是理解题意，利用图象法解决问题．

26.【答案】解：(1)将A(0,−74)，点B(1,14)代入y=x2+bx+c得：
−74=c14=1+b+c，
解得b=1c=−74，
∴y=x2+x−74．
(2)∵y=x2+x−74=(x+12)2−2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12．
∴当x=−12时，y取最小值为−2，
∵2−(−12)>−12−(−2)，
∴当x=2时，y取最大值22+2−74=174．
(3)①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，
当−3m+1>0时，PQ=−3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当−3m+1<0时，PQ=3m−1，PQ的长度随m增大而增大，
∴−3m+1>0满足题意，
解得m<13．
②∵0 ∴0<−3m+1≤7，
解得−2≤m<13，
如图，当x=−12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，

m增大过程中，−12
直线x=13关于抛物线对称轴直线x=−12对称后直线为x=−43，
∴−43
当−2≤m≤−43时，PQ与图象有1个交点，

综上所述，−2≤m≤−43或−12≤m<13时，PQ与图象交点个数为1，−43
【解析】(1)利用待定系数法求解．
(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
(3)①由0 ②通过数形结合求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．

27.【答案】(1)证明：过点P作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，如图1所示：

∴∠PED=∠PEA=∠PFQ=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∴PE=DE=PF=DF，
∴四边形PEDF是正方形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPQ+∠FPQ=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠EPQ+∠APE=90°，
∴∠APE=∠FPQ，
在△APE和△QPF中，
∠PEA=∠PFQPE=PF∠APE=∠QPF,
∴△APE≌△QPF(ASA)，
∴PA=PQ；
(2)解：PD2+PB2=AQ2，理由如下：
延长FP交AB于点G，如图2所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠PBG=45°，
∴∠BGP=∠PFD=90°，
∴△PBG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BP2=2PG2，
同理：PD2=2PE2，
由(1)全等三角形得PA=PQ，又AP⊥PQ，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AQ2=2PA2，
∵∠AEP=∠AGP=∠BAD=90°，
∴四边形AEPG为矩形，
∴PE=AG，
∵PA2=AG2+PG2，
∴PD2+PB2=2PE2+2PG2=2AG2+2PG2=2AP2=AQ2；  
(3)2

【解析】
【分析】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大．
(1)过点P作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，由角平分线的性质得出PE=PF，证出四边形PEDF是正方形，得出∠EPF=90°，进而由角的运算得到∠APE=∠FPQ，由ASA证明△APE≌△QPF，得出对应边相等即可；
(2)延长FP交AB于点G，由正方形的性质得出△PBG是等腰直角三角形，得出BP2=2PG2，同理PD2=2PE2，再由△PAQ是等腰直角三角形，得出AQ2=2PA2，即可得出结论；
(3)当点P在B点处时，点Q与点C重合，AQ的中点即为点O，则AQ的中点M移动的路径长为OM的长；连接PC，由正方形的性质得出PA=PC，再求出CQ的长，由三角形中位线定理求出OM的长即可．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：当点P在B点处时，点Q与点C重合，AQ的中点即为点O，
则AQ的中点M移动的路径长为OM的长；
连接PC，如图3所示：

由正方形的对称性得：PA=PC，
由(2)得：△PBG是等腰直角三角形，
∴FC=BG=BP2=22=2，
由(1)得：PA=PQ，
∴PC=PQ，
∵PF⊥CQ，
∴FQ=FC=2，
∴CQ=22，
∵O是AC的中点，M是AQ的中点，
∴OM=12CQ=2；
故答案为：2．  
28.【答案】(0,4)或(0,−4)

【解析】解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0,y)．
∵|−12−0|=12≠4，
∴|0−y|=4，
解得y=4或y=−2；
∴点B的坐标是(0,4)或(0,−4)；
故答案是：(0,4)或(0,−4)；
②∵|−12−0|≥|0−y|，
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为12．
(2)①如图，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，

根据运算定义“若|x1−x2|≥|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|.即AC=AD，
∵C是直线y=12x+2上的一个动点，点D的坐标是(0,1)，
∴设点C的坐标为(x0,12x0+2)，
∴−x0=12x0+1，
此时，x0=−23，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=23，
此时C(−23,23)；
②当点E在过原点且与直线y=12x+2垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E(x,y)(点E位于第二象限)．

则yx=−2x2+y2=1，
解得x=−55y=255，
故E(−55,255).
−55−x0=12x0+2−255，
解得x0=−43+2515，
则点C的坐标为(−43+2515,43+515)，最小值为43+53．
(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=4，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为(0,y).因为|−12−0|≥|0−y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；
(2)①设点C的坐标为(x0,12x0+2).根据材料“若|x1−x2|≥|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0=12x0+1，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y=12x+2垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E(−55,255)，解答思路同上．
本题考查了圆的综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．