2022武汉钢城四中高一下学期期中考试数学（含答案）

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钢城四中2021—2022（下）期中考试卷一 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列各式运算结果为纯虚数的是A. (1+i)2 B. i2(1-i) C. i(1+i)2 D. i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A中，复数纯虚数，所以正确；对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确；对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确；对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2. 已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．【详解】解：设顶点D的坐标为（x，y）∵=(4，3)，=(x，y-2)，且，∴解得故选A3. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，又是线段的中点，所以，所以．故选：A．4. 已知向量，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合向量数量积的坐标运算和余弦的两角和公式，即可求解.【详解】解：因为向量，，所以.故选：C.5. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】将函数的图像向右平移个单位后可得函数的解析式为：，的图像关于直线对称，则：，即：，令可得：.故选：B6. 若 ，则A.  B.  C. 1 D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 7. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是（    ）A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理可知，再利用边角互化，以及条件证明，从而判断的形状.【详解】根据余弦定理可知，因为，所以，根据正弦定理可知，所以，所以，则的形状是等边三角形.故选：C8. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定的关系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得，∵，∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．二 、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）A.  B. z的共轭复数为C. z的实部与虚部之和为2 D. z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10. 下列命题中：其中正确的是（    ）A. 若，则或B. 若不平行的两个非零向量，满足，则C. 若与平行，则D. 若，，则【答案】BC【解析】【分析】根据向量的概念、运算性质及平行关系进行判定.【详解】若，则，故A错；若，则，故B对；若与平行，则与夹角或，所以，故C对；若，则和任意向量都平行，故D错.故选：BC11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在单调递减D. 该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】【分析】由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．【详解】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于A，，故A不正确；对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，当时，，所以，函数在区间不单调，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得，由零点或最值点求出周期从而得，再由点的坐标求得，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．12. 如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（    ）A. 当P是线段CE的中点时，，B. 当时，C. 若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D. 的最大值为【答案】CD【解析】【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，，A选项，当是线段的中点时，，A选项错误.B选项，若设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，则，且，所以，则点的轨迹是，，所以，B选项错误C选项，，，令、的中点为，由于，即，所以三点共线.设分别是的中点，连接，交于，则，是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.D选项，，由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.故选：CD三 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13. 已知复数，满足，则__________．【答案】【解析】【详解】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值．详解：设 因为所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．14. 的值__________.【答案】1【解析】【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解： .故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15. 在圆中，为圆心，，为圆上的两点，且满足4，则在方向上的投影向量的模是______．【答案】2【解析】【分析】取的中点，连接，则，由投影的定义可得答案.【详解】取的中点，连接，由垂径定理可得在方向上的投影向量的模为 故答案为：2
 16. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.【详解】根据正弦定理，将转化为即，又因为锐角，所以.所以因为是锐角三角形，所以，所以，得，所以故的取值范围是.【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.四 、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，（1）若，求m的值；（2）若与共线，求k的值.【答案】（1）-1，（2）-2【解析】【分析】（1）先算出的坐标，再用平面向量数量积的坐标公式即可解得；（2）先算出与的坐标，再用向量共线的坐标公式即可解得.【详解】（1）因为，所以.（2），，因为与共线，所以.18. （1）已知，，其中，，求；（2）已知，，且，求的值.【答案】（1）-1；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1），根据条件求解即可；（2），只需求和三角函数即可.试题解析：（1）∵，，，，∴，，∴ .（2）∵，，∴，∵，，∴，∴，∴.∴点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.19. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间.（2）当时，求的最值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.【解析】【分析】（1）结合三角恒等变换化简函数解析式，进而判断图象性质；（2）利用整体代入法求函数的最值.【详解】（1）函数；∴的最小正周期为；令，；解得，；∴单调递增区间为，；（2）当时，，∴；∴时，取得最小值为1，时，取得最大值为2.20. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，三角形的面积，求．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理得，再由余弦定理可得，即可得解；（2）由（1）结合三角形面积公式可得，则利用余弦定理可得，计算即可得解.【详解】（1）由得，由正弦定理得即，，，由可得．（2）由（1）知，则，解得，又 ，，解得．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.21. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台到建造两条观光线路，测得千米，千米．(1)求线段的长度；(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．【答案】（1）千米；（2）千米【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表示出和，从而可将整理为，根据的范围可知时，取得最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：千米（2）设，因为，所以在中，由正弦定理得：    ，    当，即时，取到最大值两条观光线路距离之和的最大值为千米【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.22. 已知向量，函数，，．（1）当 0时，求的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）    （2）存在，m的取值范围为【解析】【分析】（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算求得函数 的解析式，然后求解 时 的值即可（2）令 求解 的值，据此求得关于 的不等式，求解不等式可得实数 的取值范围【小问1详解】当时，， 则【小问2详解】 ，因为，所以 ，令，即 ，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则，得，则， 即实数的取值范围是．