高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置导学案，共13页。学案主要包含了学习目标，学习过程，学习小结，达标检测等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
3．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
【学习过程】
一、自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________。
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4aceq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔ ，,＝0⇔ ，,<0⇔ .))
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
dr⇔________。
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________。
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数方法
运用韦达定理及弦长公式
AB＝eq \r(1＋k2)|xA－xB|＝eq \r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB])。
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
4．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________。
判断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为O1．O2，半径为r1．r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|（2）已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为____________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆。
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
二、自我检测
1．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2eq \r(3)，则k的取值范围是________。
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为______________。
3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有________条。
4．过点(0，1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则AB的最小值为________。
5．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________。
三、直线与圆的位置关系
1.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标。
变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程。
四、圆的弦长、中点弦问题
2.已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4eq \r(3)，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程。
变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.
（1）证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；
（2）求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长。
五、圆与圆的位置关系
3.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含。
变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：
（1）⊙B的圆心B的轨迹方程；
（2）⊙B的半径最小时圆的方程。
六、综合应用
4.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由。
变式迁移4 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，求k的值。
【学习小结】
1．过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求
2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式。这就是通常所说的“几何法”和“代数法”。
3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手。
【达标检测】
一、填空题
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________。
2．直线eq \r(3)x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝______________。
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________。
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是______________。
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________。
6．已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________。
7．设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧eq \x\t(AB)上，则圆C2的半径的最大值是________。
8．(2010·全国Ⅰ改编)已知圆O的半径为1，PA．PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)) 的最小值为____________。
二、解答题
9．圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点。
（1）当α＝eq \f(3π,4)时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程。
10.自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
11．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。
答案
自主梳理
1．相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离 2．x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4．（1）外离 外切 相交 内切 内含 外离 外切 相交 内切 内含 （2）(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我检测
1．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0)) 2．x－eq \r(3)y＋2＝0 3．2 4．2eq \r(3)
5．x－y－3＝0
课堂活动区
1.解题导引 （1）过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在。
（2）利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类。
（3）切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则PM＝eq \r(PC2－R2)。
解 （1）将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，
由eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝2±eq \r(6)，得y＝(2±eq \r(6))x。
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由eq \f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3．
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋eq \r(6))x，或y＝(2－eq \r(6))x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
（2）由PO＝PM，
得xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上。
当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,2x－4y＋3＝0，))得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,10)，\f(3,5)))。
变式迁移1 解 设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝eq \f(|k＋2－2k|,\r(k2＋1))，
∴k＝eq \f(3,4)，另一条斜率不存在，方程为x＝2．
∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.
圆心C为(1，1)，∴kPC＝eq \f(3－1,2－1)＝2，
∴过两切点的直线斜率为－eq \f(1,2)，又x＝2与圆交于(2，1)，
∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.
2.解题导引 （1）有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r。
方法一 代数法：弦长AB＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)；
方法二 几何法：弦长AB＝2eq \r(r2－d2)。
（2）有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系。
解 （1）
如图所示，AB＝4eq \r(3)，取AB的中点D，连结CD，则CD⊥AB，连结AC．BC，
则AD＝2eq \r(3)，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2．
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得eq \f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋－12))＝2，
解得k＝eq \f(3,4)。
当k＝eq \f(3,4)时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，
此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
变式迁移2 （1）证明 由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4，3)。
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4．
∴直线和圆总有两个不同的交点。
（2）解 kPC＝eq \f(3－4,4－3)＝－1．
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.PC＝eq \f(|3－4－1|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴AB＝2eq \r(AC2－PC2)＝2eq \r(2)。
3.解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手。
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．
（1）如果C1与C2外切，
则有eq \r(m＋12＋－2－m2)＝3＋2．
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25．
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2．
（2）如果C1与C2内含，
则有eq \r(m＋12＋m＋22)<3－2．
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
得－2∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；
当－2变式迁移3 解 （1）两圆方程相减得公共弦方程
2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.①
依题意，公共弦应为⊙A的直径，
将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.②
设圆B的圆心为(x，y)，∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))，
∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0.
（2）⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2．
由②得b＝－eq \f(1,2)[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5．
当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，
∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5．
4.解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决。因此能否将问题合理地转换是解题的关键。
解 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
圆心为C(1，－2)。
假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1．于是可知，kAB＝1．
设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，
解得－3－3eq \r(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，
x1x2＝eq \f(1,2)b2＋2b－2．
由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0.
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
变式迁移4 解 （1）∵直线l过点A(0，1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1．
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，
得eq \f(4－\r(7),3)（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由①得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(4＋4k,1＋k2),x1x2＝\f(7,1＋k2)))，∴eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12
⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1．
达标检测
1．相交 2．－3eq \r(3)或eq \r(3)
3．2eq \r(3)
解析
如图所示，
x2＋y2－4y＝0⇔x2＋(y－2)2＝4，
∴A(0，2)，OA＝2，A到直线l：y＝eq \r(3)x的距离是AN＝1，
∴ON＝eq \r(3)，∴弦长OJ＝2eq \r(3)。
4．(4，6) 5．1 6．－10
7．1
解析 圆C1的圆心C1(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离为eq \f(|0＋0－5|,\r(32＋42))＝1，圆C1的半径为2，eq \x\t(AB)弧上的点到直线3x＋4y－5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C2的半径最大为1．
8．－3＋2eq \r(2)
解析 设∠APB＝2θ，则∠APO＝∠BPO＝θ，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→)))2·cs 2θ＝eq \f(1,tan2θ)cs 2θ
＝eq \f(1－sin2θ,sin2θ)·(1－2sin2θ)＝eq \f(1,sin2θ)＋2sin2θ－3≥2eq \r(2)－3，
当且仅当eq \f(1,sin2θ)＝2sin2θ，即sin2θ＝eq \f(\r(2),2)时取等号。
9．解 （1）当α＝eq \f(3π,4)时，kAB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分)
故圆心(0，0)到AB的距离d＝eq \f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
从而弦长AB＝2 eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30)。(7分)
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＝8，,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＝8，))
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,2)。(12分)
∴直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.(14分)
10.
解 已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切。(4分)
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则
eq \f(|5k＋2＋3|,\r(12＋k2))＝1，(10分)
即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－eq \f(4,3)，k2＝－eq \f(3,4)。
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
(14分)
11．解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m)。
（1）当两圆外切时，eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)。
解得m＝25＋10eq \r(11)。(4分)
（2）当两圆内切时，因定圆的半径eq \r(11)小于两圆圆心间距离，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5．
解得m＝25－10eq \r(11)。(8分)
（3）两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2× eq \r(\r(11)2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7)。(14分)