2022年广东省湛江市高考数学测试试卷（二）（二模）（含答案解析）

2022年广东省湛江市高考数学测试试卷（二）（二模）

1. 若，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则

A.  B.  C. 2 D. 4

3. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则

A.  B.  C.  D.

6. 若a，，且，则的最小值为

A. 9 B. 3 C. 1 D.

7. 若，，，则

A.  B.  C.  D.

8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为
    

A.  B.  C.  D.

9. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则
    

A. 这五个社团的总人数为100
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的
D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为

10. 已知是函数的一个周期，则的取值可能为

A.  B. 1 C.  D. 3

11. 在正方体中，点E为线段上的动点，则

A. 直线DE与直线AC所成角为定值
B. 点E到直线AB的距离为定值
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥外接球的体积为定值

12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则

A.
B. 当时，的值不唯一
C. 可能等于
D. 当时，的取值范围是

13. 若，，则______.
14. 抛物线C：的焦点为F，点为C上一点，若，则______.
15. 的展开式中常数项为______.
16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术也称作“中国剩余定理”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______.
17. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，飞机沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点．
    求A，C两地之间的距离；
    求

18. 已知数列的前n项和为
    从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；
    在第问的前提下，若，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
19. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A，B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A，B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后．无论结果如何，竞赛都结束．A，B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛．他对A，B两类知识的挑战成功率分别为，，且挑战是否成功与挑战次序无关．
    若记X为甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额单位：元，写出X的分布列；
    为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点．
    求证：平面；
    求直线AE与平面所成角的正弦值．
    
     

21. 已知函数
    当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
    讨论极值点的个数．
    
    
    
    
    
    
     

已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．
求C的标准方程；
，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，²²，
故选：
根据向量数量积运算性质代入计算即可．
本题考查平面向量数量积的运算性质，属于基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：，，

故选：
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：由，，推不到；
由，，，利用线面垂直的性质可得
“”是“”的必要不充分条件．
故选：
由已知结合直线与平面垂直的性质及充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查直线与平面垂直的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：圆心到直线的距离，
，
，
或，
，

故选：
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，建立方程，即可求出
本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：，，且，
，当且仅当时等号成立，
，
故，
即的最小值为
故选：
结合基本不等式得到，进而求解结论．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：，
又，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：设，，
由双曲线的定义可得，，
由可得，
在直角三角形中，，①
，②
在中，可得③
由①②可得，，
代入③可得，
即为，
则，
故选：
设，，由双曲线的定义可得，，在直角三角形中，在中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的勾股定理和余弦定理的运用，考查方程思想和化简变形能力，属于中档题．
 

9.【答案】BC
 

【解析】解：由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为，
社团总人数为80人，故A错误；
合唱团人数为，舞蹈社团人数为人，
脱口秀社团的人数为，
脱口秀社团的人数占有五个社团总人数的，故B正确；
五个社团总人数占该校学生人数的，故C正确；
脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，
舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，
这两个社团人数占五个社团总人数的，
从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，故D错误．
故选：
求出五个社团的总人数，可判断AC；求出脱口秀社团的人数，判断B；求出脱口秀社团或舞蹈社团的人数占五个社团总人数的比例，可判断
本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】ABD
 

【解析】解：，
则周期，即，得，且，
当时，即或，
时，或，
时，或，
故选：
根据倍角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．
本题主要考查三角函数周期的计算，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】AC
 

【解析】解：对于A：易证平面，又平面，，直线DE与直线AC所成角为定值，故A正确；
对于B：当E在时，的长为点E到AB的距离，当E在时，的长为点E到AB的距离，故B错误；
对于C，设正方体的棱长为1，因为，平面，
所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，体积为，所以C正确；
对于D，设正方体中心为点O，当点P与重合时，三棱锥的四个顶点到点O的距离均为，
当点E移动时，OE的长在发生变化，故O不再是球心，球的半径随E的移动而发生变化，故D错误．
故选：
易证平面，可判断A；当E在时，E在时，两种情况易判断B，利用等体积法可求得三棱锥的体积可判断C；利用特殊位置可得三棱锥外接球的半径会改变，故D错误．
本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线线角计算和体积计算问题，外接球的半径问题，属中档题．
 

12.【答案】ACD
 

【解析】解：不妨设切点为，因为，
所以切线方程为，
所以，
整理得，
所以令，
则，
令得，
当或时，，，
当时，，
当x趋近于时，趋近于，
当x趋近于时，趋近于，
所以，函数的图像大致如图，

所以，当时，，故B错误，
此时成立；
当时，，所以，
故n可能等于，C正确；
当时，，显然，故D正确；
综上，，A正确；
故选：
由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，再数形结合求解即可．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，导数的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：因为，，
所以
故答案为：
由已知利用两角差的正切公式即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据抛物线的定义得即为点P到准线的距离，
，，
又是抛物线C上一点，
，
；
故答案为：
通过将代入抛物线C方程及抛物线的定义计算即得结论．
本题考查抛物线的几何性质、考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：原式，
故原式展开式中的常数项为
故答案为：
将原式化为，再利用组合的知识求解．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】20410
 

【解析】解：由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，
因为3、5、7的最小公倍数为105，
由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，
设该数列为，则，
由，可得，
所以，n的最大值为20，
所以，满足条件的这些整数之和为，
故答案为：
找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果．
本题考查了等差数列的前n项和，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意知，，，，
由余弦定理得，，
所以
由余弦定理得，，
所以，
故
 

【解析】利用余弦定理，即可得AC的长；
先利用余弦定理求得，也即，再由同角三角函数的关系式，得解．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：选①②，因为，所以，
因为，，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，即，
所以，当时，，
当时，，显然满足，
所以
选②③，因为，，
所以，解得，故
因为，，
所以，
即，
所以，整理得，
所以数列是等比数列，公比为，首项为1，
所以
选①③，因为，，
所以，，
两式作差得，即，
所以数列是等比数列，公比为，首项为1，
所以，
所以，
所以；
解：由得，故，
所以数列的前n项和满足：



 

【解析】选①②，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而求解；
选②③，先根据题意得，进而证明数列是等比数列，公比为，首项为1，再求解即可；
选①③，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为1，进而在求解即可．
结合得，再根据等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了由数列的递推式求通项公式以及分组求和的问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知，X可取的值为2000，20000，70000，，，
故X的分布列为

记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额的期望为，优先挑战B类知识所获奖金的累计总额的期望为，
由题意可知，Y可取的值为2000，50000，70000，，，元，元，
因为，所以为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B类知识．
 

【解析】可取的值为2000，20000，70000，求出概率，得到X的分布列．
记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额的期望为，优先挑战B类知识所获奖金的累计总额的期望为，求出，即可判断结果．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．
 

20.【答案】证明；连接BD，点O是BD的中点，

是的中点，，
又平面，平面；
平面；
解：以点A为坐标原点，AB，AD，分别为x，yz轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
平面的一个法向量为，
设直线AE与平面所成角为，
则，
直线AE与平面所成角的正弦值为
 

【解析】连接BD，点O是BD的中点，，可证结论；
以点A为坐标原点，AB，AD，分别为x，yz轴建立如图所示的空间直角坐标系，求直线AE的方向向量与平面的法向量，利用向量法求直线AE与平面所成角的正弦值．
本题考查证明线面平行的方法，考查直线EF与平面所成角的正弦值，考查向量法的运用，属于中档题．
 

21.【答案】解：时，，，
，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
若在上存在最大值，则，此时最大值即为极大值，
，的取值范围为；
讨论极值点的个数即讨论的变号零点个数．
又，，设，，其对称轴为，开口向下，
问题转化为讨论一元二次函数在上的变号零点个数，
①当，即时在上仅有1个变号零点，
②当且时，即时，在上有2个变号零点，
③当时，即时，在上有0个变号零点，
综合可得：当时在上有1个极值点，
当时，在上有2个极值点，
当时，在上有0个极值点．
 

【解析】利用导数研究的单调性，再数形结合；
将讨论极值点的个数转化为讨论的变号零点个数，再数形结合讨论．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、极值问题，属中档题．
 

22.【答案】解：椭圆的上、下焦点分别为，，
左、右顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形，
所以有且，解得，
所以椭圆的标准方程为：；
因为，
所以，因为N为C上且在y轴右侧的点，
所以，
因此，
同理可得：，
所以，
设，的方程分别为：，，设，，
则，
所以，因此
，
同理可得：，
因此，
所以，
所以为定值，定值为
 

【解析】根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；
根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可．
本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的综合能力，属于难题．