2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三四总分得分       一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是A.  B.
C.  D. 下列命题中，假命题的是A. 等腰三角形的两个底角相等
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 有两个内角是的三角形是等边三角形
D. 等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A.  B.
C.  D. 在平面直角坐标系内，将先向下平移个单位，再向左平移个单位，则移动后的点的坐标是A.  B.  C.  D. 我们定义一个关于实数，的新运算，规定：，例如，若实数满足，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为
A.  B.  C.  D. 如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小明同学在假期沿着小路的中间行走图中虚线，则：小明同学所走的路径长约为米．小路的宽度忽略不计
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如图，平分，为上一点，，到的距离是，则的面积为
A.  B.  C.  D. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，点是边上一点点不与点，点重合，将绕点顺时针旋转至，交于点，且平分，若，则点到线段的距离为A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设______．若，则______用“”号或“”号填空如果是一元一次不等式，则 ______ ．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交、于点、，连接若，则的长为______．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
因式分解：．






  四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）已知：如图，在中，、的平分线相交于点，且，分别交、于点、．
求证：．

  






 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
在方程；；中，不等式组关联方程是______填序号．
若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______写出一个即可．






 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为个单位长度．
将平移，使点移动到点，请画出；
作出关于点成中心对称的，并直接写出，，的坐标；
与是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．







 如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于．
求证：．
试判断与的位置关系，并说明理由．







 直线和直线分别交轴于点，，两直线交于点．
求，的值；
求的面积；
根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．

  






 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共辆，其中轿车至少要购买辆，轿车每辆万元，面包车每辆万元，公司可投入的购车款不超过万元；
符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
如果每辆轿车的日租金为元，每辆面包车的日租金为元，假设新购买的这辆车每日都可租出，要使这辆车的日租金不低于元，那么应选择以上哪种购买方案？






 一发现探究
在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
【发现问题】如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______ ；
【探究猜想】如图，如果点为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明或说明；
二拓展应用
【拓展应用】如图，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 2.【答案】
 【解析】A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题；
C、有两个内角是的三角形是等边三角形，故此选项是真命题；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题．
故选：．
根据真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判定即可．
本题主要考查真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．掌握以上知识是解题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 4.【答案】
 【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 5.【答案】
 【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
移项得：，
解得：．
故选：．
利用题中的新定义化简已知不等式，求出解集即可得到的范围．
此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及不等式的解法是解本题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，即，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：由平移的性质可知，由于小路的宽度忽略不计，因此说行走的路程为米，
故选：．
由于路的宽度忽略不计，因此行走的路线的长，代入计算即可．
本题考查生活中的平移现象，理解平移的意义，掌握平移的性质是正确解答的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：如图，过作于，作于，

是的平分线，到的距离是，
，
，
．
故选：．
过作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据三角形的面积公式计算可求解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：不等式组整理得：，即，
所以不等式组的整数解有个整数解为，，
则的范围为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由整数解有个，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 10.【答案】
 【解析】解：如图，过点作于，过点作于，

，，，
，，
，
将绕点顺时针旋转至，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，可求，由面积法可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：用反证法证明：第一步是：假设．
故答案是：．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 12.【答案】
 【解析】解：两边同时乘以得，
．
故答案为：．
根据不等式的性质，将两边同时乘以，要改变不等号的方向．
此题主要考查了不等式的基本性质不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 13.【答案】
 【解析】解：是关于的一元一次不等式，
，，
解得：．
故答案为：．
根据已知和一元一次不等式的定义得出，，求出即可．
本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出，．
 14.【答案】
 【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质可得，利用含角的直角三角形的性质可求解的长，进而求解．
本题主要考查线段的垂直平分线，含角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．
 15.【答案】
 【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，

则此时，，三点在同一直线上，
，，
，
随着点运动，总有，，
总有≌，即，，三点在同一直线上，
的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
中，，，，
，，即为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，则此时，，三点在同一直线上，得出的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：，
解，得．
解，得．
不等式组的解集为：．
解集表示在数轴上为：



．
 【解析】利用解不等式组的一般步骤求解即可；
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了解一元一次不等式组、整式的因式分解，掌握解一元一次不等式的一般步骤，因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 17.【答案】证明：、的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
．
 【解析】由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后根据等角对等边得到，，再根据角的和差即可证明．
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明和是等腰三角形．
 18.【答案】  答案不唯一，只要解为即可
 【解析】解：解方程得：，
解方程得：
解方程得：，
解不等式组得：，
所以不等式组的关联方程是，
故答案为：；

解不等式组得：，
不等式组的整数解是，
这个不等式组的一个关联方程可以是，
故答案为：答案不唯一，只要解为即可．
先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，再得出答案即可；
先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，再得出方程即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．
 19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，；

与是成中心对称图形，
如图，对称中心的坐标为
 【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据中心对称变换的性质判断即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质属于中考常考题型．
 20.【答案】证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
理由如下：，，
是的垂直平分线，
．
 【解析】根据角平分线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理证明结论．
本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 21.【答案】解：把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得．
综上所述，，．
当时，，则；
当时，，则，
所以的面积；
如图所示，当时，．
 【解析】先把代入可求出的值，从而确定点坐标，然后把点坐标代入即可求出的值；
先确定点和点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方．
本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即值相同．
 22.【答案】解：设公司购买辆轿车，则购买辆面包车，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取，，，
该公司共有种购买方案，
方案：购买辆轿车，辆面包车；
方案：购买辆轿车，辆面包车；
方案：购买辆轿车，辆面包车．
依题意，得：，
解得：，
又，
，
公司应该选择购买方案：购买辆轿车，辆面包车．
 【解析】设公司购买辆轿车，则购买辆面包车，根据“轿车至少要购买辆，且公司可投入的购车款不超过万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案；
根据这辆车的日租金不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，即可得出应该选择的购买方案．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 23.【答案】
 【解析】解：【发现问题】由旋转知，，
，
，
，
，
≌，
，
故答案为：；
【探究猜想】结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
，
，
，
，
≌，
；
【拓展应用】如图，

在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是．
【发现问题】先判断出，进而用判断出≌，即可得出结论；
【探究猜想】同证明≌即可得出结论；
【拓展应用】在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．