2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷（B卷）（含解析）

2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷（B卷）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

3. 若分式的值为零，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，点，的坐标分别为，，将三角形沿轴向右平移，得到三角形，已知，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

6. 在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是

A.  B.  C.  D.

7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成个三角形，则此多边形的边数为

A.  B.  C.  D.

8. 分式的化简结果为

A.  B.  C.  D.

9. 若，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

10. 已知关于的分式方程无解，实数的值为

A.  B.  C. 或 D.

11. 如图，把放在直角坐标系内，其中，点、的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论：
    ≌；
    连接、，则；
    当时，的长度最大；
    当点是的中点时，四边形的面积等于．
    其中正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 因式分解： ______ ．
14. 正十二边形的一个外角的度数为______．
15. 当______时，分式与相等．
16. 如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为______．
    
     

17. 如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为米时，耕地面积为______平方米．
     

18. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

19. 化简：
    
    
    
    
    
    
     
20. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点，，都在格点正方形网格的交点称为格点现将平移．使点平移到点，点、分别是、的对应点．
    在图中请画出平移后的；
    分别连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______．
    求四边形的面积．

21. E、是▱的边、的中点，
    求证：；
    连接、，分别交、于、，判断四边形是否是平行四边形，说明理由．

22. 阅读材料题：
    已知：，求分式的值．
    解：设，
    则，，；
    所以
    上述解题过程中，第步运用了______的基本性质；
    第步中，由求得结果运用了______的基本性质；
    参照上述材料解题：
    已知：，求分式的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点．
    求证：；
    若垂直平分，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知每个型口罩的进价比每个型口罩的进价少元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    、两种型号口罩的进价各是多少元？
    若该商公司购进型口罩的数量比购进型口罩的数量的倍还少个，且购进、两种口罩的总数量不超过个，则该公司最多购进型口罩多少个？
    
    
    
    
    
    
     
25. 阅读材料：若，求、的值．
    解：，
    ，，，，．
    根据你的观察，探究下面的问题：
    已知，求的值；
    已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
    已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 先阅读下列解法，再解答后面的问题．
    已知，求、的值．
    解法一：将等号右边通分，再去分母，得：，
    即：，
    ．
    解得．
    解法二：在已知等式中取，有，整理得
    ；
    取，有，整理得
    ．
    解，
    得：．
    已知，用上面的解法一或解法二求、的值．
    计算：
    ，并求取何整数时，这个式子的值为正整数．
    
    
    
    
    
    
     
27. 在中，，，将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为分别过，作直线的垂线，垂足分别是，，连接交直线于点．
    如图，当时，的形状为______；
    当时，
    中的结论是否成立？如果成立，请就图的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
    在旋转过程中，当四边形为平行四边形时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，不故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，不故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：多项式的公因式是，
故选：．
根据公因式的定义判断即可．
本题考查了公因式的定义，掌握公因式的判断方法是解题的关键，定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式或相同多项式因式；定指数，即各项相同字母因式或相同多项式因式的指数的最低次幂．
 

3.【答案】
 

【解析】解：分式的值为零，
，
解得．
故选：．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于此题考查的是对分式的值为的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：的坐标为，
，
，
，
向右平移了个单位长度，
点的坐标为，
点的坐标为：．
故选：．
直接利用对应点的变化，进而得出平移距离，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式，不符合题意；
D.原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：这个多边形的边数是．
故选：．
边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．
本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形，本题属于基础题型．
 

8.【答案】
 

【解析】解：


．
故选：．
先通分，再进行减法运算，再化简即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
当时，，
当时，，
的值可以是：或．
故选：．
直接利用完全平方公式分解因式求出答案．
本题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：
方程两边都乘以，得：

整理，得：，
无解，就是，
，或．
故选C．
分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为．
本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根让分母等于的数代入整式方程．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图所示．

点、的坐标分别为、，
，
，，
．
．
点在直线上，
，解得．
即．
．
．
即线段扫过的面积为．
故选：．
根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．
 

12.【答案】
 

【解析】解：在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，，

，
，
，
≌，
，
垂直平分，故正确；
由，
是定长，
最小时，最长，
即时，最大．故正确；
当点是的中点时，有，
，，
且是公共边，
≌
，故正确．
故选：．
根据直接可证≌，可判断；证，，可证垂直平分，可判断正确；当最小时，最长，即时，最大．可判断正确；，可判断正确．
本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质等知识，抓住全等进行转化是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】正十二边形的一个外角为．
故答案为：．
根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为解答即可．
本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：分式与相等，
，
方程两边同时乘，得，
移项得，，
合并同类项得，，
经检验，是方程的解，
故答案为：．
由题意可得方程，解出方程得，再对所得的解进行检验即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
，
以点为旋转中心顺时针旋转后得到，
，旋转角为，，
，
，
旋转角的度数为，
故答案为：．
由旋转的性质可得，旋转角为，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：平移后得耕地长为米，宽为米，
面积为平方米，
故答案为：．
将“之”字路的水平线平移到上面，竖直线平移到左面，余下部分是一个长方形，得出长和宽即可．
本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质将耕地部分组成一个矩形是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
矩形中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，根据等边对等角可得，然后求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出，根据矩形的对边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出，再次利用勾股定理列式计算即可求出，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：如图，即为所求；
，．
故答案为：，；
四边形的面积平行四边形的面积．

利用平移变换的性质作出，的对应点，即可；
根据平移变换的性质解决问题即可；
四边形的面积平行四边形的面积．
本题考查作图平移变换，平行四边形的性质等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用转化的思想思考问题．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、是▱的边、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是平行四边形，理由如下：
由得：四边形是平行四边形，
，同理：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】证四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得出结论；
由得四边形是平行四边形，则，同理：四边形是平行四边形，得，再由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】等式  分式
 

【解析】解：上述解题过程中，第步运用了等式的基本性质，
第步中，由求得结果运用了分式的基本性质，
故答案为：等式，分式；
设，
则，，，
所以 ，
分式的值为：．
根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；
按照阅读材料中的设法即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握阅读材料中的设法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
垂直平分，
，，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
 

【解析】连接，交于点，证出是的中位线，得，即；
求出，，则，，得，，再求出的长，然后由勾股定理求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：设型口罩的进价为元，则型口罩的进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
则，
答：型口罩的进价为元，型口罩的进价为元；
设该公司购进型口罩个，则购进型口罩个，
由题意得：，
解得：，
答：该公司最多购进型口罩个．
 

【解析】设型口罩的进价为元，则型口罩的进价为元，由题意：用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设该公司购进型口罩个，则购进型口罩个，由题意：购进、两种口罩的总数量不超过个，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：，
，
，
，，
，，
，
即的值是．
，
，
，
，，
，，
，，
，
的最大边的值可能是、、、、．
，，
，
，
，，
，，，
，
即的值是．
 

【解析】根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少，再把它们相乘，求出的值是多少即可；
首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是多少即可；
首先根据，，应用因式分解的方法，判断出，求出、、的值各是多少；然后把、、的值求和，求出的值是多少即可．
此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
 

26.【答案】解：等号右边通分、再去分母，得：，
即，
，
解得：；
原式


，
式子的值为正整数，
、、、，
则、、、．
 

【解析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．
根据方法一可得，即，得出，解之可得答案；
裂项求解可得原式，由式子的值为正整数知、、、，从而得出答案．
 

27.【答案】等腰直角三角形
 

【解析】解：结论：是等腰直角三角形．
理由：如图中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；

结论成立．
理由：如图中，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；

如图中，连接，设交于点．

当四边形是平行四边形时，，
在中，，
，
，
．
结论：是等腰直角三角形．证明见解析部分；
结论成立，证明见解析部分；
如图中，连接，设交于点当四边形是平行四边形时，，利用勾股定理求出，再利用面积法求出．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是证明是等腰直角三角形，属于中考压轴题．