2022年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）的绝对值为A.  B.  C.  D. 计算的结果是A.  B.  C.  D. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是A. 三棱柱
B. 圆柱
C. 三棱锥
D. 圆锥下列无理数，与最接近的是A.  B.  C.  D. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是
A.  B.  C.  D. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为
A.  B.  C.  D. 如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于
A.  B.  C.  D. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）的立方根是______．化简：______．若有意义，则的取值范围是______ ．分解因式：______．年月日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约千米，这个数据用科学记数法可表示为______ ．圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为______ ．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．

  图是一种矩形时钟，图是时钟示意图，时钟数字的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形对角线的交点上若，则长为______ 结果保留根号．
如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则______．
  如图，中，，，四边形是正方形，点是直线上一点，且是线段上一点，且过点作直线与平行，分别交，于点，，则的长是______．
 三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）计算：．






 解方程；
解不等式组：．






 为庆祝建党周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
所抽取的学生作品的样本容量是多少？
补全条形统计图．
本次活动共征集作品件，估计绘画作品有多少件．






 北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取张换取相应的吉祥物，采用的抽取方式是先抽取张不放回，再抽取张．
第一张抽到“冰墩墩”的概率是______；
求小张抽到不同图案卡片的概率．






 如图，是的边上一点，，交于点，．
求证：≌；
若，，求的长．







 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元．
求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共本，总费用不超过元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？






 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若，求的取值范围．







 如图，在中，，，，点为边的中点动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结作点关于直线的对称点，连结、设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ；
用含的代数式表示线段的长；
当点在内部时，求的取值范围；
当与相等时，直接写出的值．






 面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”．
例如：如图，直线：是函数的图象与正方形的一条“隔离直线”．
在直线，，中，是图函数的图象与正方形的“隔离直线”的为______；
如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求的取值范围．







 如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．

求二次函数的表达式；
过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接当时，求的面积；
如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
当点在抛物线上时，求点的坐标；
点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】
解：的绝对值为，
故选B．  2.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
直接运用幂的乘方运算法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟记法则是关键．
 3.【答案】
 【解析】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，
故选：．
从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．
本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．
 4.【答案】
 【解析】解：，
与最接近的是．
故选：．
用逼近法估算无理数大小即可解答问题．
本题考查了估算无理数大小．
 5.【答案】
 【解析】解：是的垂直平分线，，
，
，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 6.【答案】
 【解析】解：如图，作，

三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求解，
本题主要考查平行线的性质定理，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解．
 7.【答案】
 【解析】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．

四边形是矩形，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
点的运动轨迹是射线，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
故选：．
如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于利用全等三角形的性质证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的运动轨迹是射线，属于中考选择题中的压轴题．
 9.【答案】
 【解析】解：，

故答案为：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
 10.【答案】
 【解析】解：，
，
，
．
先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后再利用合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变合并即可．
本题主要利用完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项的法则求解，熟练掌握法则和公式对解题非常重要．
 11.【答案】
 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
 12.【答案】
 【解析】解：

．
故答案为：．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
 13.【答案】
 【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 14.【答案】
 【解析】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为：，
圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，在根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
 15.【答案】
 【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率相应的面积与总面积之比．
 16.【答案】
 【解析】解：过点作，，垂足分别为，，
由题意知，

，
，，
在矩形中，，，
，
，
，
故答案为．
根据题意即可求得，即可求得，由矩形的性质结合平行线的性质可求得，利用含角的直角三角形的性质可求解．
本题考查的矩形的性质、钟面角，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：连接，如图所示：
在中，，，
，
同理得：．
又，
．
设等边三角形的边长为，则，，
．
故答案为：．
连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为，则，，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
 18.【答案】或
 【解析】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
当点位于点左侧时，如图：
设直线交于点，

，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得：；
当点位于点右侧时，如图：

与同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明∽，∽，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点的位置要进行分类讨论．
本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出∽，特别注意分类思想的运用是解题关键．
 19.【答案】解：原式

．
 【解析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：去分母，得，
解得：，
检验，把代入得：，
所以原方程的解为；
解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 21.【答案】解：根据题意得：件，
所抽取的学生作品的样本容量是；
绘画作品为件，
补全统计图，如图所示：


根据题意得：件，
则绘画作品约有件．
答：本次活动共征集作品件时，绘画作品约有件．
 【解析】根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；
由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；
求出样本中绘画作品的百分比，乘以即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 22.【答案】
 【解析】解：第一张抽到“冰墩墩”的概率是；
故答案为：；

把“冰墩墩”和“雪容融”两种吉祥物分别记为，，画树状图如图：

共有种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有种，
则小张抽到不同图案卡片的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】证明：，
，．
在和中，
，
≌．
≌，
．
．
 【解析】利用角角边定理判定即可；
利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
 24.【答案】解：设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元．
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，
依题意得：，
解得：．
答：最多能购买手绘纪念册本．
 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，根据“购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 25.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
一次函数解析式为；
直线交轴于点，
点，
，
，
，
．
 【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
先求出点坐标，由面积关系的可求解．
 26.【答案】解：在中，由勾股定理得：
，
．
故答案为：．
当时，点在线段上运动，，
当时，点在上运动，．
综上所述，．
如图，当点落在上时，，

，，，
在中，，
．
如图，当点落在边上时，，

，，，
在中，，
．
如图，点运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，

时，点在内部．
如图，过点作于点，
当时，

，，
，
，
，
，
．
如图，当时，

，
，
，
，
，
在中，，，，
，
．
综上所述，或．
 【解析】由勾股定理求解．
分类讨论点在及上运动两种情况．
分别求出点落在与上两个临界值求解．
分类讨论点在及上两种情况，通过添加辅助线求解．
本题考查三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握特殊三角形的性质及解直角三角形的方法，通过分类讨论求解．
 27.【答案】
 【解析】解：如图，

从图可知：与双曲线和正方形没有公共点，
，不在双曲线及正方形之间，
根据“隔离直线”定义可知，直线是双曲线与正方形的“隔离直线”，
故答案为：．

如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则．

，
，
直线是与的“隔离直线”．
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，解得，
与的“隔离直线”是；

由得，
直线与抛物线有唯一公共点，
，
，解得，
此时的“隔离直线”为，
当正方形在直线上方时，如图：

点是此正方形的中心，
顶点，
顶点不能在直线下方，得，解得；
当正方形在直线下方时，如图：

对于抛物线，当时，；当时，
直线恰好经过点和点；
对于直线，当时，，
由不能在直线上方，得，解得，
综上所述，或．
根据定义，结合图象，可判断出与双曲线及正方形最多有一个公共点的的直线为；
先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；
先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围．
此题是二次函数综合题，考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 28.【答案】解：将代入，
，
；
令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
设，
如图，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
解得或，
或；
如图，平分，
，
，
，
当轴时，，
； 
如图，过点作交于点，过点作轴，交于点，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，

点与点重合，
，
；
综上所述：点的坐标为或．
 【解析】将代入，即可求解；
先求直线的解析式为，则，，可求；
设，过点作轴垂线交于点，可证明≌，则，将点代入抛物线解析式得，求德或；
分两种情况讨论：当轴时，，则；
当不平行轴时，过点作交于点，过点作轴，交于点，可证明≌，则点与点重合，求得．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．