2022年陕西省咸阳市秦汉中学中考数学四模试卷（含解析）

2022年陕西省咸阳市秦汉中学中考数学四模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列各数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下面四个立体图形的展开图中，是圆锥展开图的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为 

A.
B.
C.
D.

5. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形若，则的长为

A.  B.  C.  D.

6. 若一次函数的图象与、轴分别交于、两点，则的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 中，为弧中点，，则度数为

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数的与的部分对应值如表：

下列结论正确的是

A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 当时，
D. 若，是抛物线上两点，则

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 比较大小： ______
10. 如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连结，则的大小是______度．
     

11. 在中，，于点，是的中点，，则______．

12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则的值为______．
13. 如图，平行四边形中，连接，点为对称中心，点在上，若，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在图中求作，使满足以线段为弦且圆心到两边的距离相等要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
    
     

18. 如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交射线和干点、求证：．
    
    
     

19. 为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买个品牌篮球和个品牌的篮球共需元；购买个品牌的篮球和个品牌的篮球共需元．求、两种品牌的篮球的单价．
    
    
    
    
    
    
     
20. 秦腔脸谱作为中国最古老剧种之一的舞台美术的有机组取部分，其谱绘制风格古典独特，体系完整．与京剧脸谱、川剧脸谱并称中国三大脸谱系统．现有四张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“秦腔脸谱”，另外两张卡片的正面图案分别为“京剧脸谱”与“川刷脸谱”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．图案为“秦腔脸谱”的两张卡片分别记为、，图案为“京剧脸谱”的卡片记为，图案为“川剧脸谱”的卡片记为
    随机抽取一线，卡片上图案是“京剧脸谱”的概率是______；
    请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“秦腔脸谱”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为，在点的正下方米处的点处测得塔帽的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度计算结果精确到米，参考数据：，，，

22. 为了促进养殖业持续健康发展，国家采取多项政策，加大对养殖业的扶持力度，小明家在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经过一段时间精心饲养，总量为只的批鸡可以出售，现从中随机抽取只，得到它们质量的统计数据如下：

根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图，这只鸡质量的中位数落在______组；
利用质量组中值求这只鸡质量的平均数；
经了解，近期市场上这种鸡的售价为元，请利用这个样本平均数，估计小明家这批鸡可收入多少元？

23. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发，该地区一家供电公司为了居民能节约用电采用分段计费的方法来计算电费，月用电量度与相应电费元之间的函数图象如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    已知某居民上月电费是元，求该户居民上月用电多少度．

24. 如图，是的直径，且点为上的一点，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，作直线交于点，且．
    证明：是的切线；
    设的半径为，，求线段的长．
     

25. 已知抛物线：经过点，，．
    求抛物线的表达式；
    若抛物线与抛物线关于轴对称，点、分别是抛物线、上的动点、不与、重合，分别连接、、、，问四边形能否为矩形？若能为矩形，求出满足条件的点、点的坐标；若不能为矩形，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
    【问题提出】
    在“平行四边形、正方形、菱形”中，一定是等角线四边形的是______；填写图形名称
    【问题探究】
    如图，在中，，，，为平面内一点，若四边形是等角线四边形，且，求四边形的面积；
    【问题解决】
    如图，是一块荒废的公园示意图，是一个直径为的圆形喷泉水池，现要重新修整这个公园，进一步扩大人们的活动范围，根据设计要求，需在水池边上取一点使得，已知点到点的距离为，是否存在一种规划方案，使得四边形的面积最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：．
根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于，负数都小于，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：这个立体图形是长方体，故本选项不符合题意；
B.圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥，故本选项符合题意；
C.这个立体图形是三棱柱，故本选项不符合题意；
D.这个立体图形是圆柱，故本选项不符合题意；
故选：．
由平面图形的折叠及圆锥的展开图特点作答．
本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】
 

【解析】解：中，，，
，
，
，
．
故选：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角的性质可得出的度数，最后由平行线的性质得出结论即可．
本题主要考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，，
，
，
．
故选：．
根据题意可知，，，所以根据勾股定理可知，即，从而可求得的长．
此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当时，，解得：，
点的坐标为，
；
当时，，
点的坐标为，
．
．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
为弧中点，
，
．
故选：．
由可得，从而求得，进而求解．
本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与弧的关系．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由表格可得，
该抛物线的对称轴为直线，故选项B正确；
该抛物线的开口向上，故选项A错误；
当时，，故选项C错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若，是抛物线上两点，则或，故选项D错误；
故选：．
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：．
先变形，，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，主要考查学生的变形能力．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在正六边形中，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
依据正六边形中，，，即可得出，再根据，即可得到．
本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
，
又，是点的中点，
，
故答案为：．
根据，，利用勾股定理可以得到的长，然后根据，是点的中点，可以得到，从而可以解答本题．
本题考查直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数图象上的点都满足函数关系式，可知，即可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上的点都满足函数关系式是解题的关键．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
若点在上，则；
若点在上，．
或．
故答案为：或．
首先过点作，交的延长线于点，由平行四边形中，，，可求得的长，又由，可求得的长，然后分别从点在上与点在上去分析求解即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、三角函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算乘方、开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

15.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：两边乘得到，
，
，
，，
经检验是原方程的增根，
原方程的解为．
 

【解析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
两边乘把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
 

17.【答案】解：如图所示．

圆即为所作的圆．
 

【解析】作的角平分线，作的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到点或点的距离为半径作圆．
本题考查作图复杂作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
的中点是，
，
在和中，
，
≌，
；
 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：设品牌的篮球的单价为元，品牌的篮球的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：品牌的篮球的单价为元，品牌的篮球的单价为元．
 

【解析】设品牌的篮球的单价为元，品牌的篮球的单价为元，利用总价单价数量，结合“购买个品牌篮球和个品牌的篮球共需元；购买个品牌的篮球和个品牌的篮球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：随机抽取一线，卡片上图案是“京剧脸谱”的概率是，
故答案为：．
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“秦腔脸谱”的有种结果，
所以抽出的两张卡片上的图案都是“秦腔脸谱”的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：连接，如图所示：
由题意得：，，，米，
，
四边形是矩形，
，米，
，
，
在中，，
，
设米，则米，米，
，
，
解得：，
米，
答：塔帽与地面的距离的高度约为米．
 

【解析】连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解得：，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，求出的长是解答本题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：只，
补全频数分布直方图：

第个数和第个数均在第三组，所以中位数在组，
故答案为：；
千克，
答：这只鸡质量的平均数是千克；
元，
答：小明家这批鸡可收入元．
根据频数之和为，可求出的值；进而补全频数分布直方图；
计算样本平均数，估计总体平均数，
用样本估计总体，计算出总收入得出答案．
本题考查频数分布直方图、频数分布表的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
 

23.【答案】解：当时，设，
将点代入，
得，
解得，
，
当时，设，
代入，，
得，
解得，
，
综上，与之间的函数关系式；
，
将代入，
得，
解得，
该户居民上月用电度．
 

【解析】当时，时，分别用待定系数法求解析式即可；
将代入解析式即可求出的值．
本题考查了一次函数的实际应用，根据图象求出分段函数解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：设为，则为，
，，
，
，，
∽，
，
即，
，
．
 

【解析】由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，则，证出，则可得出答案；
由勾股定理求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查的是切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将，代入得，
解得，
．
抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的解析式为，
设点坐标为，作轴于点，则，

四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，，
，
解得，，
当时，，
当时，，
点坐标为或．
中点坐标为，
点，关于点对称，
点的坐标为或．
 

【解析】将，代入解析式求解．
设点坐标为，作轴于点，由四边形为矩形可得，从而可得，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握矩形的性质，掌握解直角三角形的方法．
 

26.【答案】正方形
 

【解析】解：因为平行四边形的对角线互相平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，
在“平行四边形、正方形、菱形”中，一定是等角线四边形的是正方形，
故答案为：正方形；
如图，过点作于点，

，
，
，，，
，，
四边形为等角线四边形，
，
，
，
，
；
存在，当等角线四边形对角线不垂直时，
如图，过点作于，过点作于，

则，
，，
，
当等角线四边形对角线垂直时，




，
综上，当等角线四边形对角线垂直时面积最大，
如图，当过圆心，最长，四边形中，时，其面积最大，

的直径为，
，
，
，
，
故四边形的面积最大值为．
根据平行四边形，正方形，菱形的性质可得答案；
过点作于点，利用等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求出的长，从而分别求出和的面积；
当等角线四边形对角线不垂直时，过点作于，过点作于，可知，当等角线四边形对角线垂直时，，则当等角线四边形对角线垂直时面积最大，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了特殊四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等知识，明确等角线四边形对角线垂直时面积最大是解题的关键．