高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布教学课件ppt

课题

7.5《正态分布》

教学目标

1. 知识目标

通过具体实例，了解服从正态分布的随机变量，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；能够根据正态曲线的特点求随机变量在某一区间内的概率；了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题。

2. 能力目标

引导学生有目的的观察、归纳、类比、猜想等，提高学习能力。

3. 情感目标

发展学生数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模的核心素养。

教学重点

正态分布的概念、图像及其性质，了解3σ原则。

教学难点

借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题；会求随机变量在特殊区间内的概率。

教学准备

1.          教师准备：课件PPT
2.          学生准备：预习教材并完成资源与评价

教学过程

1. 新课导入：

知识点1：连续型随机变量

现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量。下面我们看一个具体问题。

问题：自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g，由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量)。用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量。检测人员在一次产品检验中, 随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位:g)的观测值如下:

(1)  如何描述这100个样本误差数据的分布?

(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?

    可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示。频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1。

观察图形，误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁。

    随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，规率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示。

根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布。任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示。

思考：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？

2. 讲授新知：

上图的钟形曲线是一个函数，这种刻画随机误差分布的解析式为.其中，为参数。

知识点2：正态分布

显然，对任意的，，它的图象在x轴的上方。可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1。我们称为正态密度曲线，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示。若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为. 特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布。

若，则如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积。

正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中。在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布。例如，某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量；自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)；某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等。

思考：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？

知识点3：正态分布的性质

由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：

（1）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称

（2）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点)；

（3）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴。

思考：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？

函数的图象可由的图象平移得到。因此，在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图所示。

当取定值时，因为曲线的峰值与成反比，而且对任意的，曲线与x轴围成的面积总为1。因此，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图所示。

观察上面两图可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.若，则

3.   例题精析：

例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4。假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布。

（1）估计X，Y的分布中的参数；

（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；

（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.

解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2。用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到，.

（2）X和Y的分布密度曲线如图所示。

（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具。

由上图可知，.

所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车。

知识点4：3σ原则

假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值。特别地，，，.上述结果可用下图表示。

由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则。

4. 跟踪训练：

2. 已知η～N(1，4)，若P(η>2a)＝P(η<a－1)，则a＝(　　)

  A. －1　　       B. 0           C. 1         D. 2

3. 设随机变量X~N(0, 1)，则X的密度函数为_____________________，P(X≤0)=_____ ，P( |X|≤1)=_______， P(X≤1)=________， P(X>1)=_______。

4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2), 且P(ξ<4)＝0.8, 则P(0<ξ<2)＝(   )

 A. 0.6           B. 0.4             C. 0.3         D. 0.2

5.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(　　)

附:若X～N(μ,σ2), 则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827, P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.

A. 0.6827         B. 0.8413           C. 0.8186         D. 0.9545

6.已知随机变量X～N(2, σ2), 若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1, 则实数a＝( 　)

  A. 0             B. 1             C. 2         D. 4

7.据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为______。

5. 小结：

板书设计

7.5正态分布

1. 正态密度函数与正态分布；    2. 正态曲线的特点；

3. 正态分布的均值与方差；      4. 正态分布的原则：

课后作业

分层训练

教学反思

本节课主要以概念和图像为主要目标，学生能够根据题意画出图像，并且能够根据图像了解其性质即可。从课后作业反馈来看，效果尚佳。