湖南师大附中教育集团2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

湖南师大附中教育集团2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共 30分）

1. 下列曲线中，表示是的函数的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列式子中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 如下图，数轴上点所表示的数是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，矩形的对角线、交于点，，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形
 

6. 一次函数的图象与轴交点的坐标是

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的解析式为

A.  B.  C.  D.

8. 已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点是

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩

10. 已知一次函数为常数，且，无论取何值，该函数的图象总经过一个定点，则这个定点的坐标是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共 18分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点与点被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则，之间的距离为______ ．
     

13. 已知：点，是一次函数图象上的两点，则______填“”或“”
14. 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标是______．
    
     

16. 如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，在运动过程中：
    斜边中线的长度是否发生变化______ 填“是”或“否”；
    点到点的最大距离是______ ．

三．解答题（本题共9小题，共 72分）

17. 计算：
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 下面是小东设计的“作平行四边形，使，，”的作图过程．
    作法：如图，画；
    在的两边上分别截取，．
    以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
    则四边形为所求的平行四边形．
    根据小东设计的作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：______，______，
    四边形为所求的平行四边形．______填推理的依据．

20. 湘一学校为加强学生安全意识，莫校长组织全校学生参加安全知识竞赛从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图请根据图中的信息，解决下列问题：
    填空： ______ ， ______ ；
    补全频数直方图；
    湘一学校共有名学生，若成绩在分以下含分的学生安全意识不强，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

21. 如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
    求直线的函数解析式；
    求点的坐标．

22. 如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端在上，，．
    求证：四边形为菱形；
    求的长．

23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．
    自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中，______；
根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
进一步探究函数图象发现：
方程的解是______；
方程的解是______；
关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．

24. 自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元．

求一件，型商品的进价分别为多少元？

若该欧洲客商购进，型商品共件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于件．已知型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，且全部售出．设购进型商品件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数关系式，并写出的取值范围；

在的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．






 

25. 【模型建立】
    如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌；
    【模型应用】
    如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式；
    如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、，不是最简二次根式，故C错误；
D、，不是最简二次根式，故D错误；
故选：．
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．
先根据勾股定理计算出，则，然后计算出的长，接着计算出的长，即可得到点所表示的数．
【解答】
解：如图，，，
，
，
，
，
点表示的数为．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】解：如图，矩形的对角线，交于点，，
，
又，
，
是等边三角形，
．
在直角中，，，，

故选：．
利用矩形对角线的性质得到结合知道，则是等边三角形；最后在直角中，利用勾股定理来求的长度即可．
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出、的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B、四边形是平行四边形，设和交于点，，，，，
，四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：当时，，解得，
所以一次函数的图象与轴的交点坐标为．
故选D
计算函数值为所对应的自变量的取值即可．
本题考查了一次函数图象与轴的交点：求出函数值为时的自变量的值即可得到一次函数与轴的交点坐标．
 

7.【答案】
 

【解析】解：函数的图象与直线平行，
，
又函数的图象经过点，
，
一次函数的解析式为，
故选：．
根据函数的图象与直线平行，且经过点，即可得出和的值，即得出了函数解析式．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，关键是正确得出函数解析式的系数．
 

8.【答案】
 

【解析】解：关于的不等式的解集是：，
，解得：，
，即，即直线解析式为，
令，解得：，
则直线与轴的交点是．
故选：．
由于关于的不等式的解集是，得到小于，表示出不等式的解集，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入确定出直线解析式，即可求出与轴的交点坐标．
认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由于甲对大家说：我还是不知道我的成绩，可以推断出乙和丙只能一个优秀一个良好，
当乙知道丙的成绩后，就知道自己的成绩了，但还是不知道甲和丁的成绩，
由于甲和丁也是一个优秀一个良好，所以给丁看甲的成绩后，丁就知道自己的成绩了，但还是不知道乙和丙的成绩，
所以只有乙、丁可以知道自己的成绩，
故选：．
根据甲不知道自己的成绩，乙和丁结合自己看到的成绩进行分析推理即可得到答案．
本题主要考查了简单的合情推理的应用，还考查学生的逻辑推理能力，熟练掌握此类题目的推理方法是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
当时，，
无论取何值，该函数的图象总经过定点，
故选：．
先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于，就可以求解．
【解答】

解：依题意，得，
解得：，
故答案为．

12.【答案】
 

【解析】解：在中，，
的长为，的长为，
，
点是中点，
．
故答案为：．
由勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：一次函数中，，
随的增大而增大．
，
，
．
故答案为：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点纵坐标的值得出，即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：经过第二、三、四象限，
，，
，，
；
故答案为；
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，，
四边形是菱形，
，
在中，，
．
故答案为：
在中，利用勾股定理求出即可解决问题；
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】否 
 

【解析】解：如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线．
长度不变，故不变，
故答案为：否；
在矩形的运动过程当中，有，
当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，
为中点，
，
又，
，
．
故答案为：．
直接运用直角三角形斜边中线定理即可证明；
当、、三点共线时，此时，取得最大值，则有，由勾股定理求出即可得长度．
本题考查了斜边中线定理，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，找出最大时、、三点的位置是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式

．
 

【解析】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
 

19.【答案】解：补全的图形如图所示：

，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
 

【解析】解：见答案；
，，
四边形为所求的平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
根据要求作出图形即可．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：被调查的总人数为人，
，
则组人数为，
，
故答案为：、；

组人数为：人，
补全直方图如下：


该校安全意识不强的学生约有人．
先由组人数及其所占百分比求出总人数，再用乘以组人数所占比例即可得；
用总人数乘以组所占的百分比求出组的人数，再补全统计图即可；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查了频数率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的函数解析式为；
由得，
点的坐标为
 

【解析】利用待定系数法即可求得；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得．
本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的交点问题，利用待定系数法求解直线的关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
解：过点作于，

四边形是矩形，
，，
在中，，，，
，
，
．
 

【解析】由四边形是矩形，根据折叠的性质，易证得是等腰三角形，即可得，又由，即可得四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形为菱形；
过点作于，可得四边形是矩形，然后根据勾股定理，即可求得的长，继而求得的长．
此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】    或 
 

【解析】解：时，，故，
故答案为：；
函数图象如图所示：

方程，
，
解得：．
故答案为：；
方程，
此时或，
解得：或．
故答案为：或；
设函数，
由有两个实数根得，直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，，
故答案为：．
求出时的函数值即可；
利用描点法画出函数图象即可；
分别求出方程的解即可解决问题．
本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
因为客商购进型商品件，所以客商购进型商品件．
由题意：，
，
，
设利润为元．则，
当时，即时，随的增大而增大，所以时，最大利润为元．
当时，最大利润为元．
当时，即时，随的增大而减小，所以时，最大利润为元．
 

【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．根据元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，列出方程即可解决问题；
根据总利润两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
设利润为元．则，分三种情形讨论即可解决问题．
 

25.【答案】解：如图所示：

，，
，
又，，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
过点作交于点，轴交轴
于点，如图所示：

轴，轴轴，
，
又，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
又直线：与轴交于点，与轴交于点，
点、两点的坐标分别为，，
，，
，，
点的坐标为，
设的函数表达式为，
点、两点在直线上，依题意得：
，
解得：，
直线的函数表达式为；
能成为等腰直角三角形，依题意得，
若点为直角时，如图甲所示：

设点的坐标为，则的长为，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
若点为直角时，如图乙所示：

设点的坐标为，则的长为，
，
同理可证明≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
若点为直角时，如图丙所示：

设点的坐标为，则的长为，
，
同理可证明≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
综合所述，点的坐标为或或
 

【解析】由垂直的定义得，平角的定义和同角的余角的相等求出，角角边证明≌；
证明≌，求出点的坐标为，由点到直线上构建二元一次方程组求出，，待定系数法求出直线的函数表达式为；
构建≌，由其性质，点在直线求出或或，将的值代入点坐标得或或
本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．