2022年中考数学（人教版）二轮复习 专题04 一次函数性质及性质应用问题（复习讲义）学案

专题04    一次函数性质及性质应用问题复习讲义

【要点归纳|典例解析】

类型一：正比例函数图像及性质

考点1  正比例函数图像及性质

1.一般地，把形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫正比例函数

2.正比例函数的性质

当k＞0时，正比例函数的图象过一、三 象限， y随x的增大而增大

当k＜0正比例函数的图象过二、四 象限， y随x的增大而减小

3．正比例函数的定义

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

4.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。

5．正比例函数的性质

（1）当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小．

类型二：一次函数的图像性质

考点2  一次函数的图像及性质

1.一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数

2.一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点(0，b)和的一条直线；

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图像平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度

3.图像确定：因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两点即可

4．一次函数的性质：

（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小；

（3）当b>0时，直线交y轴于正半轴；

（4）当b<0时，直线交y轴于负半轴。

5.一次函数的图像及性质考查的题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2)一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数；

6.设问方式有：(1)判断函数图像及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次函数表达式；(4)判断一次函数图像是否经过某点．

7. 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

8．正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

类型三：一次函数的应用问题

考点3  一次函数的应用

1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．

2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：

(1)设定实际问题中的自变量与因变量；

(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；

(3)确定自变量的取值范围；

(4)利用函数性质解决问题；

(5)检验所求解是否符合实际意义；

(6)答．

3．方案最值问题：

对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数。

类型一：一次函数图像及其性质

1.函数的图象不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】．

【解析】一次函数，，函数图象经过第一三象限，

，函数图象与轴负半轴相交，

函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选：．

2.直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．

3.（2020贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（　　）

A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0

【答案】B．

【解析】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故选：B．

4.（2020•浙江杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）

A                 B                  C                  D

【答案】A

【解析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．

A.由①可知：a＞0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；

B.由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；

C.由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；

D.由①可知：a＜0，b＜0，

∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．

5.（2020 河北中考考试说明）已知：y＋b与x－1(其中b是常数)成正比例．

(1)证明：y是x的一次函数；

(2)若这个一次函数过点（，0），且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求这个一次函数的表达式．

【分析】根据正比例函数的性质可确定y＋b与x－1关系，从而求出y与x的函数关系．

【解答】(1)依题意，得

y＋b＝k(x－1)(k为常数，k≠0)，

得y＝kx－(k＋b)，

∵k≠0，k＋b与k均为常数，

∴y是x的一次函数；

(2)∵这个一次函数过点（，0），且与坐标轴在第一象限围成三角形面积为，

∴函数与y轴的交点为(0，5)，

把（，0），(0，5)代入y＝kx－(k＋b)，得

解得

∴y＝－2x＋5.

6.（2019 江西中考）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为　             　．

【答案】（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．

【分析】先由已知得出D1（4，1），D2（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．

【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）

∴AB∥y轴

∵点D在直线AB上，DA＝1

∴D1（4，1），D2（4，﹣1）

如图：

（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1≌△P1AD1

∴

即

解得：OP1＝2

∴P1（2，0）

（Ⅱ）当点D在D2处时，

∵C（0，4），D2（4，﹣1）

∴CD2的中点E（2，）

∵CP⊥DP

∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点

设P（x，0），则PE＝CE

即

解得：x＝2±2

∴P2（2﹣2，0），P3（2+2，0）

综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．

类型二一次函数与不等式

7.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　     　．

【答案】．

【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．

∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），

∴关于x，y的方程组的解是．

8.（2019贵州黔西南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为　   　．

【答案】x＜4

【解析】函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，

故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．

9.（2019•江苏无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　     　．

【答案】x＜2．

【解析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．

∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，

则b＝6k，

故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，

∵k＜0，

∴x﹣2＜0，

解得：x＜2．

10. （2019黑龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求函数图象中a的值；

（2）求小强的速度；

（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【答案】见解析。

【解析】对于（1），结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义是：小明出发5分钟时，离学校300米，此时小强出发.由此可知小明离开学校后的速度.点A（10，a）的含义是：小强出发10分钟后，小明离学校a米，此时小明运动的时间为10+5=15分钟，结合以上两个条件，可以求出a的值；对于（2），小强出发12分钟后与小明相遇，此时小明运动了15+2=17分钟，其中最后两分钟是折返后的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计算出小强的速度；对于（3），先确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求出线段AB的函数解析式.

【解析】（1）a==900

（2）小明的速度为300÷5=60（米/分）

小强的速度为（900-60×2）÷12=65（米/分）

（3）由题意得B（12,780）

设AB所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),

把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得，

∴线段AB的解析式为y=-60x+1500，(10≤x≤12)

类型三：待定系数法求一次函数

11.（2019年陕西省）已知一次函数的图象经过点、，且时

，则k等于（     ）．

A．           B．          C．          D．

【答案】D

【解析】因为一次函数的图象经过点、，所以，，

因为当时，，所以当时，，即，解得．

12.（2019广西桂林）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，，，，

，，

四边形分成面积，

可求的直线解析式为，

设过的直线为，

将点代入解析式得，

直线与该直线的交点为，，

直线与轴的交点为，，

，

或，

，

直线解析式为

13.（2019辽宁沈阳中考模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（　　）

A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）

【答案】B．

【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．

【解答】解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣x﹣；

求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；

此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；

故选：B．

14.（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+2；

（2）点C的坐标是（0，﹣）．

【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；

求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．

（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，

∵一次函数的图象平行于直线y＝x，

∴k＝，

∵一次函数的图象经过点A（2，3），

∴3＝+b，

∴b＝2，

∴一次函数的解析式为y＝x+2；

（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，

∴x＝﹣4，

∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），

∵点C在y轴上，

∴设点C的坐标为（0，y），

∵AC＝BC，

∴＝，

∴y＝﹣，

经检验：y＝﹣是原方程的根，

∴点C的坐标是（0，﹣）．

15.（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：

（1）线段AB的长；

（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

【分析】（1）由直线y＝﹣x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定A、B两点的坐标；

（2）分两种情况进行分别探究，①当＜m≤3时，②当0＜m≤时，分别画出相应的图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下S与m的函数解析式．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，

当y＝0时，x＝4，

∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝，

因此：线段AB的长为5．

（2）当CD∥OA时，如图，

∵BD＝OC，OC＝m，

∴BD＝m，

由△BCD∽△BOA得：

，即：，解得：m＝；

①当＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，

此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，

∵△BDF∽△BAO，

∴，

∴DF＝，同理：BF＝m，

∴CF＝2m﹣3，

∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣2m，

即：S＝m2﹣2m，（＜m≤3）

②当0＜m≤时，如图2所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，

S＝0 （0＜m≤）；

③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）

设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（﹣m，m+3）代入得：

，解得：k＝﹣，b＝m，

直线CD关系式为y＝﹣x+m，

当y＝0时，0＝﹣x+m，解得x＝m2

F（，0）

∴S△COF＝OC•OF＝（﹣m）×＝﹣m3，

即：S＝﹣m3，（﹣3＜m≤0）

④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）

此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF＝﹣，

∴S梯形OCDF＝（﹣m﹣3﹣m）×（﹣）＝

即：S＝  （m＜﹣3）

综上所述：S与m的函数关系式为：S＝．

类型四一次函数的实际应用

16.（2019 山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．

（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．

【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；

（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．

【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；

（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，

解得x＞20时，

当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．

17.（2019•河北）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．

（1）当v＝2时，解答：

①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），

求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

【答案】见解析。

【解析】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），

∴S头＝2t+300

②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，

此时S头＝2t+300＝600 m

甲返回时间为：（t﹣150）s

∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；

因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．

（2）T＝t追及+t返回＝+＝，

在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：

v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；

因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．

18.（2019•浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．

根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

【答案】见解析。

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

（1）由图可得，

甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），

乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），

答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；

（2）设直线OA的解析式为y＝kx，

30k＝2800，得k＝80，

∴直线OA的解析式为y＝80x，

当x＝18时，y＝80×18＝1440，

则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），

∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），

∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），

当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），

∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），

答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；

（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），

乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），

当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．

19.（2019 吉林中考）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．

（1）m＝　    　，n＝　    　；

（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．

【分析】（1）观察图象即可解决问题；

（2）运用待定系数法解得即可；

（3）把x＝3代入（2）的结论即可．

【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；

故答案为：4；120；

（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），

因为图象经过（2，120），

所以2k＝120，

解得k＝60，

所以y关于x的函数解析式为y＝60x，

设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），

因为图象经过（2，120），（4，0）两点，

所以，

解得，

所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；

（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．

所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．

类型五一次函数有关的规律问题

20.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=－x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为____________．

【答案】－31009

【解析】从简单的入手，分别求出A2到A9的横坐标，找出循环，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．

当x=1时，y=－x=－，∴A2（1，－）；当y=x=－，x=－3，∴A3（－3，－）；当x=－3时，y=－x=3，∴A4（－3，3）；当y=x=3时，x=9，∴A5（9，3）；同理可得A6（9，－9），A7（－27，－9），A8（－27，27），A9（81，27），…，∴A4n+1（32n，32n×），A4n+2（32n，－32n×），A4n+3（－32n+1，－32n+1×），A4n+4（－32n+1，32n+1×），（n为自然数）．∵2019=504×4+3，∴点A2019的横坐标为－32×504+1=－31009．

21.（2020江苏徐州）函数y＝x＋1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个.

【答案】4

【解析】本题解答时要分类讨论.作AB的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB为等腰三角形；以B为圆心BA长为半径交x轴于C2，△C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则△C3AB，△C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有4个.