人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数教案设计

第2课时　最大利润问题

◇教学目标◇

【知识与技能】

能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系,建立数学模型.利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题,能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,并能应用这些关系解决实际问题.

【过程与方法】

1.能将实际问题转化为二次函数问题,进而建立数学模型解决,从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活.

2.体验由文字语言到数学语言的过程,培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力.

3.利用二次函数的图象和性质解决实际问题,体会数形结合的思想.

【情感、态度与价值观】

通过实际问题与二次函数的联系,体验二次函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所用的成就感,了解数学对促进社会进步和发展所起的作用.

◇教学重难点◇

【教学重点】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.

【教学难点】

1.读懂题意,找出相关量的数量关系,正确构建数学模型.

2.理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系.

◇教学过程◇

一、情境导入

某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

引入:正如一次函数能解决经济问题一样,二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛,让我们一起进入今天的学习吧.

二、合作探究

探究点　何时获得最大利润

典例1　阅读教材P50“探究2”,完成下面的内容:

(1)调价包括　　　　和　　　　两种情况. 

(2)若涨价,如果设商品的单价涨了x元,总利润为y元,则此时的售价为　　　　件,每一件的利润为　　　　元,实际卖出　　　　件,总利润y=　　　　　　　　,化简后为:y=　　　　　　　　,自变量的取值范围为　　　　,顶点坐标为　　　　.所以商品的单价上涨　　　　元时,利润最大为　　　　元,即定价　　　　元时,利润最大,最大利润为　　　　元. 

(3)若降价,设商品的单价下降x元,总利润为y元,此时的售价为　　　　元,每一件的利润为　　　　元,实际卖出　　　　件,总利润y=　　　　　　　　,化简后为:y=　　　　　　　,自变量的取值范围为　　　　,顶点坐标为　　　　.所以商品的单价下降　　　　元时,利润最大为　　　　元,即定价　　　　元时,利润最大,最大利润为　　　　元. 

(4)由上面的讨论可知,当商品定价　　　元时,利润最大为　　　　元. 

[答案]　(1)涨价　降价

(2)(60+x)　(20+x)　(300-10x)　(20+x)(300-10x)　-10x2+100x+6000

0≤x≤30　(5,6250)　5　6250　65　6250

(3)60-x　20-x　300+20x　(20-x)·(300+20x)　-20x2+100x+6000　0≤x≤20　(2.5,6125)　2.5　6125　57.5　6125

(4)65　6250

典例2　某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:

(1)求y与x之间的函数解析式.

(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数解析式(利润=收入-成本).

(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出当售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?

[解析]　(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,

∴解得

即y与x之间的函数解析式是y=-2x+200.

(2)由题意,可得W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000,

即W与x之间的函数解析式是W=-2x2+280x-8000.

(3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40≤x≤80,

∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大;

当70≤x≤80时,W随x的增大而减小;

当x=70时,W取得最大值,此时W=1800.

答:当40≤x≤70时,W随x的增大而增大;当70≤x≤80时,W随x的增大而减小;当售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.

三、板书设计

最大利润问题

1.解决问题方法

建立函数关系式,利用二次函数的性质求最大值或最小值.

2.注意事项

求出解析式后,确定最大值或最小值时,要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.若不在,应结合图象求最大值或最小值.

◇教学反思◇

　　本节主要学习图形与最值、利润与最值问题.在教学中,通过问题设置,引导学生自主探究、合作交流,让学生经历实际问题——建立模型——问题解决的过程,掌握求最值的过程,学会建模的一般思想.对于例题、习题的教学要注意难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在求最值时,一定要注意自变量的取值范围,先看顶点是不是在取值范围内,再求最值.