初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时教案设计

第3课时　切线长定理和三角形的内切圆

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.了解切线长定理,并能利用它进行有关的计算或证明.

2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

3.能作出三角形的内切圆.

【过程与方法】

通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题,同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验发现三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题.

【情感、态度与价值观】

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程,培养合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地写出推理过程.

◇教学重难点◇

【教学重点】

切线长定理及其应用,三角形内心的性质.

【教学难点】

切线长定理的应用,三角形的内心及其半径的确定.

◇教学过程◇

一、情境导入

木工王师傅想从一块三角形木板上截出一个最大的圆面作为凳面,你知道应该怎样截取吗?

二、合作探究

探究点1　切线长定理

典例1　如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于点A,B,△PDE的周长为8,∠APB=40°,C是上任意一点,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E.

(1)求PA的长;

(2)求∠DOE的度数.

[解析]　(1)∵PA,PB,DE是☉O的切线,

∴由切线长定理得DA=DC,EC=EB,PA=PB,

∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA,

∴2PA=8,即PA=4.

(2)连接OP,则OP平分∠APB.

∵∠ADO=∠DOP+∠APO,∠BEO=∠BPO+∠POE,

∴∠ADO+∠BEO=40°+∠DOE,

即∠EDO+∠DEO=40°+∠DOE.

又∠ODE+∠DEO+∠DOE=180°,40°+2∠DOE=180°,∴∠DOE=70°.

探究点2　三角形的内切圆

典例2　如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,求∠BOC的大小.

[解析]　∵点O是△ABC的内心,

∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,

∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC=90°-×80°=50°,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°.

在△ABC中,若点I是△ABC的内心,则∠BIC=90°+∠A,∠AIB=90°+∠C,∠AIC=90°+∠B.

变式训练　如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为 (　　)

A.114° B.122° C.123° D.132°

[答案]　C

典例3　已知☉O分别切△ABC的三边AC,AB,BC于点D,E,F,若AC=b,BC=a,AB=c.求:

(1)AE,BF,CD的长;

(2)当∠C=90°时,内切圆的半径长.

[解析]　(1)如图,由切线长定理知AD=AE,BE=BF,CF=CD.

设AD=AE=x,BE=BF=y,CF=CD=z,

根据题意,得解得

∴AE=,BF=,CD=.

(2)设☉O内切于Rt△ABC于点D,E,F.连接OD,OF,则OD⊥AC,OF⊥BC.

∵∠C=90°,OD=OF,

∴四边形ODCF为正方形.

∴CD=OD,且CD是圆的半径.

同理(1)可求得CD=CF=.∴内切圆的半径为.

(1)几何问题代数化是解决几何计算问题中的一种重要方法,一般解法是设某些未知量为x,y,z,把复杂问题代数化.

(2)本题中存在一般规律:AD=,BF=,CD=,这一规律可在解选择题、填空题时直接用.

变式训练　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”              (　　)

A.3步 B.5步 C.6步 D.8步

[答案]　C

已知Rt△ABC,三边长为a,b,c(斜边),其内切圆的半径为r=.

三、板书设计

切线长定理和三角形的内切圆

1.切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心连线平分两切线的夹角.

2.内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆.

内心是三角形三内角平分线的交点,内心到三边的距离相等.

总结:(1)直角三角形内切圆半径=.

(2)圆外切多边形面积=多边形周长的一半×内切圆的半径.

◇教学反思◇

　　这节课主要学习切线长定理及三角形内切圆.在教学中通过复习切线的性质及全等三角形,得出了切线长定理,并对切线长定理进行补充.对于三角形内切圆,注重了讲练结合及数形结合、方程的思想.对于内切圆的性质进行了归纳,这样可起到加深巩固的作用.在今后教学中,应增加与实际问题联系的题目,以达到学以致用的目的.