2022南平高三下学期三模试题数学含答案

南平市2021—2022学年高三毕业班第三次质量检测

数学试题

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，则复数的虛部为（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

2. 设集合，集合，若，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】D

3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）

A. 至多一枚硬币正面朝上 B. 只有一枚硬币正面朝上

C. 两枚硬币反面朝上 D. 两枚硬币正面朝上

【3题答案】

【答案】C

4. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，，，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【4题答案】

【答案】B

5. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

6. 在中，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

7. 若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【7题答案】

【答案】D

8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）

A. 若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

B. 该医院青年患者所占的频率为

C. 该医院的平均治愈率为28.7%

D. 该医院的平均治愈率为31.3%

【9题答案】

【答案】ABC

10. 已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）

A. 函数在单调递减

B. ，

C. 把的图象向右平移个单位即可得到的图象

D. 若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为

【10题答案】

【答案】BD

11. 已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）

A. 双曲线的渐近线方程为

B. 双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方

C. 双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列

D. 双曲线上存在点，满足

【11题答案】

【答案】AB

12. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】ABD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 计算：___________.

【13题答案】

【答案】##

14. 已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________.

【14题答案】

【答案】

15. 已知函数有零点，则实数___________.

【15题答案】

【答案】

16. 四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.

【16题答案】

【答案】

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.

（1）求角A；

（2）若，，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）

【17题答案】

【答案】（1）；

（2）

19. 已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若满足，.设为数列的前项和，求.

【19题答案】

【答案】（1）

（2）

21. 南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），

①求的值；

②利用该正态分布，求；

（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若，则，，.

【21题答案】

【答案】（1）①；②

（2）分布列见解析；

【小问1详解】

由题，，

因为，

所以.

【小问2详解】

由题，，

所获赠话费的可能取值为，，，，，

，，，

，，

所以的分布列为：

所以.

23. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，.

（1）证明：平面；

（2）若M为棱PD上的点，，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

证明：因为底面是边长为的正方形，所以，

由，，，则≌，

所以，

设，连接，所以，

因为，平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

取中点为，易得且，

所以为二面角的平面角，则，

因为，，，

所以≌，所以，即，

又，所以平面，则，

在中，，所以，则，

以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，所以，

设所求的直线与平面所成角为，

则，

所以，所求的正弦值为.

25. 已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形面积的最大值.

【25题答案】

【答案】（1）；

（2）

27. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：函数有两个零点，且.

【27题答案】

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明见解析

【小问1详解】

定义域为，，当时，，在上单调递增；

当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；

综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

当时，因为，所以，无零点.当时，由，

得，即，设，则有，因为在上成立，

所以在上单调递减，当时，，所以等价于，

即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.

不妨设，则，相减得，

设，则，代入上式，解得，所以，

因为，所以，因此要证，只需证，即证，

设，则，所以在递增，，

即，因为，所以可化成，又因为，所以.