2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（二）数学试题含解析

这是一份2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（二）数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（二）数学试题一、单选题1．设集合，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】把分式不等式转化为等价不等式组，求出集合，即可求出.【详解】不等式等价于，解得...故选：.【点睛】本题考查解分式不等式和集合的运算，属于基础题.2．若点在角的终边上，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，所以，故选D．【解析】任意角的三角函数值．3．某校学生的男女人数之比为2：3，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为（       ）A．98分钟 B．88分钟 C．90分钟 D．85分钟【答案】B【分析】根据样本中男女的均值，应用平均值的求法求该校全体学生每天平均运动时间.【详解】由题设，若该校男生人数为，则女生人数为，∴该校全体学生每天运动时间的平均值为分钟.故选：B.4．2021年寒假，重庆一中书院“云”课堂为了解决孩子们在平时学习中的困惑、遗漏等，各个学科为了孩子们量身定制了各重点章节的微课．其中高三年级数学学科安排了，，三位老师录制“数列”、“三角函数”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，每位老师录制两章节，其中老师不录制“函数与导数”，老师不录制“三角函数”，则安排录制微课的情况一共有（       ）A．30种 B．36种 C．42种 D．48种【答案】C【分析】分两类讨论，即老师录制三角函数与另一门微课和老师不录制三角函数，然后分别求解即可．【详解】①老师录制三角函数与另一门微课，则老师有种录课方法，老师有种录课方法，老师有种录课方法，则共有种，②老师不录制三角函数，则老师有种录课方法，老师有种录课方法，老师有种录课方法，则共有种，综上，共有种方法，故选：C．5．已知等差数列前n项和为，且，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设及等差数列前n项和公式可得，求的数量关系，进而求即可.【详解】设等差数列的公差为，由题设，，可得，∴.故选：D.6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（       ）（参考数据：） A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m【答案】C【分析】根据题意，列出关于的方程，然后求解即可.【详解】根据题意知，，由因为R远大于，∴，解得.∴舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.故选：C7．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（       ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】依题意知，若双曲线焦点为，，∴，则△的高为，即，∴，代入双曲线方程：，整理得：，∵，∴，整理得，得，∵，∴．故选：D．【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数的齐次方程.8．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，，∵（ ），∴在上单调递增，又∵当时，∴当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，故有，即得，所以根据题意，若使，需使的值域中包含，即得，故的最大值为2.故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.二、多选题9．已知，则下列叙述中正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】BC【解析】利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.【详解】对A，当，时， 不成立，故A错误；对B，因为，即，所以，所以，故B正确；对C，当时，，所以，故充分性成立；当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对D，命题“，”的否定是“，”，故D错误.故选：BC10．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（       ）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数D．函数在区间上单调递增【答案】ACD【解析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为，故，，故，，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称轴：，解得，当时，，故A选项正确；对称中心：，解得，对称中心为，故B选项错误；函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，故C选项正确；的单调递增区间：，解得，又，故D选项正确；故选：ACD.11．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（       ）A．直线DB1与平面AEF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．三棱锥A1−AEF的体积等于【答案】BD【分析】对于A，B，利用空间向量判断，对于C，由题意可得截面为梯形，利用梯形面积公式求解即可，对于D，利用空间向量求出到平面的距离，然后利用体积公式求解即可【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，所以，，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确，对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误，对于D，因为平面的法向量为，，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1−AEF的体积为，所以D正确，故选：BD12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，，2 此时所以，故A项正确；结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得则 又 所以 ，故B项正确；由B项分析可知即，故C项错误.，故D项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.三、填空题13．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数______．【答案】【分析】应用复数的除法化简，再根据其为纯虚数可得，即可求参数.【详解】由题设，为纯虚数，∴，可得.故答案为：.14．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．【答案】【分析】根据某人共有三发子弹可得，2，3，然后求得其相应概率，再由期望公式求、，最后根据求值.【详解】由题意知：，2，3，，，，∴的分布列为：123 ∴，，∴.故答案为：.15．已知，则_____________．【答案】180【分析】将改写成，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果.【详解】因为，其展开式的通项公式为，令，则，故答案为为：180.16．在长方体，底面是边长为4的正方形，侧棱（），点是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边的点），且满足，则四棱锥的体积的最大值是______．【答案】【分析】利用长方体的几何性质确定和均为直角三角形，然后表示出，得到，以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，由此得到点到平面的最大距离，最后由锥体的体积公式求解即可．【详解】在长方体中，因为平面，平面，所以和均为直角三角形，所以，，又，所以，即，以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则，，设，根据，则有，化简整理可得，（其中，，则当时，，所以点到平面的最大距离为，又四边形的面积为，所以四棱锥的体积的最大值为．故答案为：．四、解答题17．2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学．该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：、、、、[50，60]，并得到如下频率分布直方图： (1)请根据以上信息，求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；(2)为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访．已知错题数在和的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在的回答3个问题，错题数在的回答5个问题，各个问题均不相同．用表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求的概率．【答案】(1)，中位数为38.33；(2).【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1，即可求得；再根据中位数的求解方法，计算面积之和为时对应的值，即可求得中位数；（2）根据题意求得时，对应的抽取情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.(1)根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，故中位数为38.33；(2)因为[50,60）和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽2人，中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，错题数在的回答5道题，错题数的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从的2人中抽2人，从的3人中抽1人，设的人为，设的3人为,则所有的抽取情况有如下种：其中满足题意的有如下种：则时的概率．18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求的值；（2）若点D为边的中点，，求的值．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；（2）作边上的高，垂足为E，因为，所．又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为，所以，即．又，所以．（2）如图，作边上的高，垂足为E，因为，所以．又，所以．因为点D为边的中点，，所以．在直角三角形中，，所以．在直角三角形中，，所以．19．已知数列满足．（1）求；（2）求数列的前n项和；（3）已知是公比q大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）．【分析】（1）利用项和转换可得，即得；（2），裂项求和法可得解；（3）代入，可得．，转化是递减数列为恒成立，化简可得，恒成立，又是递减数列，即得解.【详解】（1）由题意，数列的前n项和．当时，有，所以．当时，．所以，当时，．又符合时与n的关系式，所以．（2），．（3）由，得．又，所以．所以．．因为是递减数列，所以，即．化简得．所以，恒成立．又是递减数列，所以的最大项为．所以，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查了数列综合，考查了项和转换、裂项求和、数列的单调性等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.20．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．（1）求证：平面；（2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）要证明平面，关键在于在平面中找到一条直线平行于，已知，连接，可以根据相似证明线线平行，进而得出线面平行；（2）要求直线与平面所成角的正弦值，先求点到平面的距离，再求的长，进而可得正弦值.【详解】（1）证明：连接，交于，因为，，所以，，因为，所以∽，，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，连接、，因为为正三角形，所以，，因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，所以，因为，所以平面，所以平面平面，因为，所以平面，所以，，所以，设，由余弦定理得，于是，整理得，解得或（舍去），取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，所以平面，即线段的长为点到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以的长也是点到平面的距离，而，，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径比是1：2．（1）求椭圆的方程；（2）已知，过作斜率互为相反数的两直线、分别与椭圆交于、两点（，两点位于轴下方），求三角形的面积取得最大值时的直线的方程．【答案】（1）（2）【分析】（1）设△的内切圆的半径为，根据，推出，设△的外接圆的半径为，在△中，由正弦定理可得，进而可得，解得，，进而可得答案．（2）设，，，，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得，，由直线与斜率互为相反数，推出，化简可得，点到直线的距离，弦长，进而可得，，利用函数的思想求出面积最大时，的值，即可得出答案．【详解】（1）设△的内切圆的半径为，所以，又，所以，设△的外接圆的半径为，在△中，，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以椭圆的方程为．（2）由题知直线的斜率存在，设为，设直线的方程为，联立，得，所以△，设，，，，所以，，因为直线与斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，当时，直线的方程为，此时直线过点，不合题意，所以，直线的方程为，即，点到直线的距离，所以，所以，，令，，令，解得或，所以或，又因为，所以在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，在，上单调递减，当时，，当时，，所以当时，最大，最大，所以直线的方程为．22．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在上的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）2个.【分析】（1）求导得到，再对分类讨论得到函数的单调性；（2）由题得，再对分三种情况讨论得解.【详解】（1），其定义域为，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令得，令得所以在上单调递减，上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，单调递增，（2）已知得，则①当时，因为所以在单调递减，所以，所以在上无零点；②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使当时，，当时，所以在递减递增，且，所以，又因为所以所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点；③当时，，所以在单调递增因为，所以在上无零点；综上所述，在上的零点个数为个.【点睛】方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到，再研究函数图象性质即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.