2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期第一次月考数学试题含解析

2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期第一次月考

数学试题

一、单选题

1．已知复数，是虚数单位，是的共轭复数，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】由题知，再根据乘法法则求解即可.

【详解】解：因为复数，是虚数单位，是的共轭复数，

所以，所以.

故选：C

2．已知集合，，则（       ）

A．{1} B．{0} C．｛0，1} D．｛1，2}

【答案】A

【分析】解方程求出集合再进行交集运算即可求解.

【详解】因为集合，

所以.

故选：A.

3．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据离心率和双曲线的性质可知，由此即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】设双曲线的半焦距为，

由题意，双曲线的离心率为，则，即，

所以双曲线的渐近线方程为，即.

故选：D.

4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：

812，832，569，683，271，989，730，537，925，907

由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（       ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【答案】A

【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.

【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，

故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.

故选：A.

5．已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，根据题中条件，求出体对角线的长度，再由长方体的外接球直径等于其体对角线的长，即可求出外接球直径，得出外接球的表面积.

【详解】

记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，

因为在长方体中，侧棱底面，

则为与底面所成角，即，

因为长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，

则，所以，

又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，

即该长方体外接球的直径为，

所以此长方体的外接球表面积为.

故选：A.

6．如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（       ）

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B．

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

【答案】B

【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；

乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确；

由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确；

由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确.

故选：B.

7．已知定义在上的奇函数满足.当时，则（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由题可得函数的周期为4，结合条件可得，进而可求，即得.

【详解】∵定义在上的奇函数满足，

∴，

∴，即函数的周期为4，

又当时，，，

∴，即，

∴当时，，

∴，

∴.

故选：C.

8．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意设两交点分别为，，可得，，长度，考查函数求最值即可得解.

【详解】已知直线与直线，曲线分别交点，，

设，，则有，

变形可得，

又由，

设，，

则当时，，函数在为减函数，

当时，，函数在为增函数，

则有最小值，且，

则，

即线段长度的最小值是.

故选：A.

二、多选题

9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（       ）

A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为

D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为

【答案】CD

【分析】根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.

【详解】若甲的极差为，平均数为，方差为，中位数为，

则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，

A：当甲的极差为0时，样本甲、样本乙的极差相等，错误；

B：当甲的方差为0时，样本甲、样本乙的方差相等，错误；

C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；

D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；

故选：CD

10．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法正确的是（        ）

A．点的轨迹是一条线段

B．与是异面直线

C．三棱锥的体积为定值

D．与不可能平行

【答案】ABC

【分析】取的中点，证明平面平面即可依次判断4个选项.

【详解】

分别取的中点，连接，如图，平面，平面，

平面，同理可得平面，又是平面内的两条相交直线，平面平面，

而平面，平面，得点的轨迹是一条线段，故A正确；并由此可知，当与重合时，与平行，

故D错误；平面平面，和平面相交，与是异面直线，故B正确，，则点到

平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故C正确.

故选：ABC.

11．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的增区间为

C．点是函数图象的一个对称中心

D．将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】AD

【分析】根据二倍角的正余弦公式可得，结合正弦型函数的性质依次判断选项即可得出结果.

【详解】由.

对于选项A，函数的最小正周期为，故A选项正确；

对于选项B，令，

可得，

函数的增区间为，故B选项错误；

对于C选项，由，可知点不是函数图象的一个对称中心，故C选项错误；

对于选项D，由，故D选项正确.

故选：AD

12．“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，、2、3、．则下列说法正确的是（            ）

A．若，则

B．对任意有限“0，1数列”，则中0和1的个数总相等

C．中的0，0数对的个数总与中的0，1数对的个数相等

D．若，则中0，0数对的个数为

【答案】BCD

【分析】A选项，由得到，故A错误；B选项，由的定义即可作出判断；C选项，由定义可进行推导出中的每一个，数对与中的，数对的关系，作出判断；D选项，在B，C选项的分析基础上，得到与中的，数对的递推关系，从而利用累加法求出通项公式，得到中0，0数对的个数.

【详解】若，则，，A错误；

由的定义知，B正确；

因为中的每一个，数对只能由中的一个，数对变来，且中的每一个，数对必生成一个中的，数对，C正确；

记中的，数对与，数对的个数分别为，，由C选项知．

又因为中的每一个，数对只能由中的一个或者一个，数对变来，

且由B选项知，中有个，从而，所以，故，D正确，

故选：BCD．

【点睛】定义新数列的题目，要能正确理解题干定义，并能从中抽取到有用信息，转化为熟悉的问题，比如本题中要能得到与中的，数对的递推关系，转化为熟悉的累加法求解通项公式.

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数的值为______.

【答案】1

【分析】根据向量坐标的线性运算求出，再根据，得，从而可得出答案.

【详解】解：，

因为，所以，解得.

故答案为：1.

14．设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________．

【答案】

【分析】根据抛物线定义求出点坐标，即可求出面积.

【详解】由题可得，设，

则由抛物线定义可得，解得，代入抛物线方程可得，

所以.

故答案为：.

15．将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为______．

【答案】70

【分析】先求出，再由二项式定理展开求解

【详解】由题意得：

在展开式中，，当即时，该项为

故答案为：70

16．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是____________；

【答案】

【分析】根据题目中“倒戈函数”的定义写出实数m关于的表达式，根据的取值范围，可以求出的取值范围

【详解】因为函数是定义在上的“倒戈函数”，所以，即，即，令，则，所以，得：，当或时，，得：

故答案为：

四、解答题

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列方程组求得，然后可得通项公式；

（2）用裂项相消法求得和，然后由求得的范围后可得的范围．

【详解】(1)设等差数列公差为，由题意

，，解得，

所以；

(2)由（1），

所以，

易知是递增的且，

不等式对任意的都成立，则，所以．

18．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①；②；③且为锐角.在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，若， ______，.

(1)求角；

(2)求的周长.

注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）选条件①②③分别利用正弦定理或面积公式求出的三角函数值；

（2）选条件①②③，分别利用正弦定理和余弦定理求出的值，即可求得周长；

【详解】(1)选条件①

∵，∴，

又，

∴，故

选条件②

∵，

由正弦定理得：，

又，

∴，即，

又，故.

选条件③

∵且，

∴，即，

又为锐角，故.

(2)根据（1）的结果可得：

∵且，

∴由正弦定理得：，①

又由余弦定理有：，

即，∴，②

由①②解得：，

故的周长.

19．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点.

(1)求证：平面；

(2)已知，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，易得，再根据线面平行的判定即可证结论.

（2）为中点，结合已知可构建以为原点，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，设，写出对应点坐标，并求出直线的方向向量和平面的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】(1)由题设，连接交于，易知：是的中点，连接，

∵是的中点，

∴，又面，面，

∴面.

(2)底面是菱形，，即，若为中点，则，

∴，故在直四棱柱中有、、，

∴可构建以为原点，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，设，

∴，则，

若是面的一个法向量，则，令，则，

∴，故直线与平面所成角的正弦值.

20．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；

(2)从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；

(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.

【答案】(1)287.5

(2)分布列为：

数学期望为

(3)每箱零件的利润是4750元

【分析】（1）先确定分位数所在的区间，再设出分位数，列出方程，求出答案；（2）先求出的B级零件个数和质量指标值在[350，400]的零件个数，求出可能取值，并求出相对应的概率，求出分布列和期望值；（3）设出每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，得到Y与X的函数关系，先得到，进而估计出每箱零件的利润.

【详解】(1)前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6

前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6

设分位数为，

，解得287.5

∴产品的质量指标值的分位数为287.5

(2)，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，，

，

随机变量的分布列为

所以期望.

(3)设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，

由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，A级零件的概率为1-0.1=0.9

所以， 所以，

所以(元).

所以每箱零件的利润是4750元

21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．

【答案】(1)；

(2)证明见解析，(－5,0).

【分析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.

【详解】(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．

∵，

∴

解得从而b2＝a2－c2＝3．

∴椭圆C的方程；

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．

∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．

由得．

时，，，

∴

．

由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，

故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).

22．已知函数(为自然对数的底数，)．

(1)求的单调区间和极值；

(2)设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)﹒

【分析】(1)求f(x)的导数，根据a的范围分类讨论的正负，从而判断f(x)的单调区间和极值；

(2)参变分离，得，求导讨论的最小值即可.

【详解】(1)，x＞0，

当时，－a≥0，，∴在上单调递增，无极值；

当时，令，得，

当时，；当时，；

∴在上单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值.

综上，当时，的增区间为，无减区间，无极值；

当时，的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.

(2)∵对任意的，不等式恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

∴在上为增函数，

又∵，，

∴，使得，即，

当时，，可得，∴在上单调递减；

当时，，可得，∴在上单调递增，

∴，

由，可得，

令，则，

又由，∴在上单调递增，

∴，可得，∴，即，

∴，∴，

综上所述，满足条件的取值范围是.

【点睛】本题关键是参变分离不等式，将问题转化为求在时的最小值，转化为通过导数研究F(x)的单调性和最小值.在求解过程中，需要对导数二次求导，从而判断导数的零点，该零点为隐零点，故需采用隐零点的讨论方法求解.在处理方程时，还需要采用同构思想构造函数，达到简化的目的.