2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期3月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期3月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先求得集合A、B，再根据交集的运算法则求解即可.
【详解】由得，得集合，
由得，得集合，
所以，
故选：A.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关集合的问题，解题方法如下：
（1）解一元二次不等式求解集合A；
（2）根据对数式真数大于零求得集合B；
（3）利用集合交集定义求得.
2．“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】令函数，求导，研究其单调性，即可得到充分性成立，取特殊值证明必要性不成立，即可得出结果．
【详解】令函数，当时，，
所以函数在区间上单调递增，则，即，故充分；
但是反之未必成立，比如取，易知，满足，但是不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】方法点睛： 充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据，进行判断；②集合法，即由，成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题与其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断．
3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（       ）
A．140 B．240
C．360 D．800
【答案】B
【解析】根据(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，分别得到(x＋1)5和(x＋2)5的展开式中x的系数和常数项即可.
【详解】因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
4．单调增函数对任意满足，若恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数的性质可得，原不等式可转化为，根据不等式恒成立，换元后分离参数求解即可.
【详解】因为，
所以
又对任意满足，
所以，
解得，
由为R上单调增函数可得，
令，
即恒成立，
即，
而，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据抽象函数性质，推导出，利用函数单调性脱去符号，转化为不等式恒成立问题是关键，利用换元法及分离参数的办法，根据均值不等式可求解，属于中档题.
5．如图，在长方形中，，，点为线段上一动点，现将沿折起，使点在面内的射影在直线上，当点从运动到，则点所形成轨迹的长度为

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．
【详解】由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，

AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：
【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．
6．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
7．已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值.
【详解】由已知的，故.∵的面积为，
∴，∴.又∵，
∴，，∴，
又，∴，
∴.∴的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.
8．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题首先可以将“不等式对任意恒成立”转化为“对恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出结果．
【详解】题意即为对恒成立，
即对恒成立，从而求，的最小值，而
故
即
当时，等号成立，方程在内有根，
故，所以，故选D．
【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题．
二、多选题
9．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（       ）
A．若复数，则 B．若复数满足，则
C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则
【答案】AC
【分析】设，由复数运算法则计算后根据复数的分类判断各选项．可举例判断D．
【详解】设，
若，则，，所以，A正确；
若，则，或，，时，B错误；
若，则，，所以，C正确；
若，有，但，D错误．
故选：AC．
10．下列命题中说法正确的是（       ）
A．已知随机变量，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
【答案】BCD
【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断A，由方差的性质判断B，由正态分布的对称性判断C，由二项分布的概率公式列不等式组求解即可判断D．
【详解】对于A，由题意可得，，解得，，故A错误，
对于B，由可得，当时，，故B正确，
对于C，随机变量服从正态分布，
，且，
，故C正确，
对于D，击中目标的次数为，，
令且，
解得，又，故，
故则当时概率最大，故D正确.
故选：BCD.
11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是
A．周长为
B．三个内角，，成等差数列
C．外接圆直径为
D．中线的长为
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知正确；利用余弦定理求得，知正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知正确；利用中线定理求得中线长，知错误.
【详解】由正弦定理可得：
设，，
，解得：
的周长为，正确；
由余弦定理得：       
       ，即       成等差数列，正确；
由正弦定理知外接圆直径为，正确；
由中线定理得：，即
，错误.
故选：
【点睛】本题考查解三角形中的新定义问题的求解，关键是能够通过所给公式构造方程，求得三角形三边长；涉及到正弦定理角化边和解三角形的应用、余弦定理和中线定理的应用等知识.
12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（       ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
D．若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
【答案】AD
【分析】设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误，根据求出的值，可判断B选项的正误，利用抛物线的定义求出的值，可判断C选项的正误，求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设点、，设直线的方程为，
联立，整理可得，，
由韦达定理可得，，，
，A正确；

，解得，
所以，直线的斜率为，B错误；
抛物线上一点到焦点的距离为，则，可得，
故抛物线方程：，C错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，则，所以，抛物线的方程为，

所以，，，，
所以，圆的直径为，则，
点到轴的距离为,
，
，，，
即，D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
三、填空题
13．已知单位向量，满足，则___________．
【答案】
【分析】首先对两边平方得到，再根据求解即可.
【详解】，.
，
所以.
故答案为：
14．武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到、、三个社区.若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到社区，共有______种不同的分配方案.
【答案】12
【解析】首先根据题意，教师甲必须分配到社区有两种情况，一是甲单独分到社区，二是甲和一名教师作伴分到社区，之后利用分类加法计数原理求得结果.
【详解】根据题意有两种情况：
一是甲单独分到社区，要求剩下三名党员教师分到、两个社区，
有种分配方案，
二是甲和一名教师作伴分到社区，有种分配方案，
所以满足条件的分配方案有种，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，解题思路如下：
（1）首先根据题意，教师甲必须分配到社区有两种情况；
（2）一是甲单独分到社区，二是甲和一名教师作伴分到社区；
（3）分别计算出对应的分配方案数，利用分类加法计数原理求得结果.
15．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝1，记bm为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前99项之和为________．
【答案】
【解析】首先根据与的关系，得到数列的通项公式，再根据规律找到满足条件能使成立的最小项，并对于不同的值，计算满足条件的个数，再求和.
【详解】因为，所以，所以当时，，
即，所以，因为为数列中能使成立的最小项，所以，所以可得当时，，当时，，当时，，当时，，……，，所以数列的前99项之和为：.
故答案为：
【点睛】本题考查已知和的关系求数列的通项公式，以及数列新定义，分组求和，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个值，计算满足条件个数.
16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由函数的解析式，得出，令，
利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】因为，所以不妨设．
当时，，当时，，
根据，可知，所以，
所以，故，
所以．
记，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
又当时，，所以的值域是．
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系．进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围．
四、解答题
17．已知等比数列的前项和为且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由解出，按照等比数列的通项公式求解即可；
（2）先化简得到再按照裂项相消法求和即可.
【详解】(1)由题意得：，可得，
由，可得，由，可得，可得，
可得；
(2)由可得

可得：
.
18．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
19．如图，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=∠BAD=90°，F为棱PA的中点，PD=BC=，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．

(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) AC∥平面DEF，证明见解析；(2) 在线段EF上存在一点，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，此时QE=.
【详解】(1)AC∥平面DEF.理由如下：
设线段PC交DE于点N，连接FN，如图所示，
因为四边形PDCE为平行四边形，所以点N为PC的中点，
又点F为PA的中点，所以FN∥AC，
因为FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.

(2)假设在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，设=λ(0≤λ≤1)，如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
因为PD=BC=，AB=AD=1，所以CD=2，所以P(0,0，)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，所以=(1,1，−)，=(−1,1,0)．
设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，
则，即解得令x=1，得平面PBC的一个法向量为m=(1,1，)．
假设存在点Q满足条件．由F，E(0,2，)，可得=.
由=λ(0≤λ≤1)，整理得，则=，
因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，m〉|===，得14λ2－5λ－1=0，
又0≤λ≤1，所以λ=，
故在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，
且QE==.
20．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，面积为.
【解析】（1）根据题意可得关于、、的方程组，求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出、所满足的等式，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出，并求出点、的坐标，再结合三角形的面积计算出为定值.
21．中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15~65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：

年龄





支持"延迟退休"人数
5
10
10
2
1

(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：

45岁以下
45岁以上
合计
支持



不支持



合计




(2)若从年龄在的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
参考数据：











【答案】(1)填表见解析；有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意，进行数据分析，完成2×2列联表；套公式计算，对照参数下结论；
（2）根据题意列举的所有可能取值，分别求概率，写出分布列，求数学期望.
【详解】(1)由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3，45岁以下支持“延迟退休”人数为25，则2×2列联表如下：

年龄45岁以下人数
年䧖45岁以上人数
合计
支持
25
3
28
不支持
15
7
22
合计
40
10
50

．
所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．
(2)由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在和年龄在的人数都为，其中年龄在和年龄在支持 “延迟退休”的人数分布为2，1，故的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以的分布列是

0
1
2
3






所以的期望值是．
22．已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若存在极小值点与极大值点，求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）根据函数在某点处切线方程的求法求出和可得；
（2）函数存在极小值点与极大值点，即有两个零点，且在零点左右两侧异号，依据根的存在性定理，确定根所在区间即可求解.
【详解】(1)解：
，所以函数在点处的切线方程为；
(2)设，则，设，则
所以在上单调递增．
又因为，所以在上，，即
所以在上单调递增．
当时，，所以在上，，即
所以函数在上是单调增函数.
又是奇函数，所以函数在上单调递增，无极值点；
当时，

又因为函数在上单调递增，所以函数在上有且只有一个零点
x
（0，）

(，+∞)

-
0
+

↘
极小值
↗

可知是的唯一极小值点，且
又是奇函数，所以函数必存在唯一极大值点，记为，且，
所以，所以成立.
【点睛】此题第一问考查函数在某点处的切线方程，属于简单题目；第二问证明不等式重点考查利用导函数处理函数单调性和极值问题，转化成函数零点问题，关键点在于如何限制其中一个根所在区间，以及为何要与作比较，考查转化与化归思想.