2022届江西省南昌市第十中学高三下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2022届江西省南昌市第十中学高三下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算性质，求得集合，得到或，再结合交集的运算，即可求解.

【详解】由，可得，解得

所以集合，，

可得或，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及对数的运算的性质，其中解答中根据对数的运算性质，求得集合，熟练应用集合的交集和补集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2．复数满足，则复数的实部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数模的运算、除法的运算化简，由此求得复数的实部.

【详解】依题意，所以，故的实部为.

故选：D.

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.

【详解】因为，

故选：C.

【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题

4．已知、、表示直线，、表示平面，下列四个命题中正确的为

A．，，则

B．，，则

C．，，则

D．若，为异面直线，则过空间任意点一定可以作一条直线，使得和，都垂直

【答案】D

【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一核对四个选项即可得出答案.

【详解】对于A，由，，得或与相交或与异面，故A错误；

对于B，由，，得或与异面，故B错误；

对于C，由，，得或，故C错误；

对于D，若，为异面直线，则，必存在一条公垂线，

过任意一点作公垂线的平行线，则，，故D正确；

故选：D

【点睛】本题考查了直线与平面平行的性质、直线与直线的位置关系，属于基础题.

5．倾斜角为45°的直线将圆分割成弧长的比值为的两段弧，则直线在轴上的截距为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】直线将圆分割成弧长的比值为的两段弧，可得，即，设直线的方程为，利用点线距公式列出方程，解出直线在轴上的截距．

【详解】设原点为，直线与圆交于点，由题意，得．过作于点，则；

设直线的方程为，由，得，解得，所以直线在轴上的截距为，

故选 ：D．

6．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值．

【详解】函数，

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，

因为函数是偶函数，

．

当时，．则的最小值为

故选：A

7．已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得，再由平面向量数量积的运算律即可得解.

【详解】由题意，作出图形，如图，

，，

，，

由可得，

，

又，则，

.

故选：D．

8．已知，，，则的最小值是

A．8 B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知化简可得：，从而，利用基本不等式即可求解.

【详解】，，，

，

则，

当且仅当且，即时取等号，

故选：C

【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，同时考查了对数的运算性质，属于基础题.

9．条件或，条件，p是q（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】通过举反例，判断出成立推不出成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．

【详解】若成立，例如当，时，不成立，即不成立，

反之，若且，则是真命题，

所以若，则或是真命题，即成立，

所以是的必要而不充分条件，

故选B.

【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题．

10．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先作出区域的可行域求出面积，此点到坐标原点的距离小于的概率

等价于以原点为圆心，半径为的圆内和区域的公共部分，

求出公共部分面积，概率就是公共部分面积与区域面积的比值.

【详解】如图区域：表示矩形，面积为，到坐标原点距离小于的点，

位于以原点为圆心，半径为的圆内，

即与区域：的公共部分（如下图阴影部分所示），

联立得，连接，

所以，，，

所以扇形的面积：，

因为，

所以，

所以此点到坐标原点的距离小于的概率为：

故选：A．

11．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到关系，然后得到关系，再求解双曲线的离心率．

【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，

圆的圆心，半径为，

双曲线的渐近线与圆相切，

，整理得，

由，可得

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题.

12．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令，对及其a分类讨论，结合图象即可得出.

【详解】解：函数，

，，，因此时，函数单调递增.

，，，可得函数在单调递增；

可得函数在单调递减.

可得：在时，函数取得极大值，.

画出图象：

可知：.

令，

①时，函数无零点.

②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去.

，由，可知：此时函数无零点，舍去.

③，解得或.

解得，.

时，，.此时函数无零点，舍去.

因此，可得：.

由恰有四个不同的零点，

∴，，.

解得：.

则a取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.

二、填空题

13．若命题“∃x0∈R，使得3 ＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是_______．

【答案】[－，]

【分析】先转化为“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，用判别式进行计算即可.

【详解】命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，

故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

故答案为：[－，].

【点睛】（1）全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．

（2）“恒成立”问题的解决方法：

①函数性质法

对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.

②分离参数法

思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.

14．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.

【答案】32

【分析】根据题意可得：，解方程组即可得解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，

根据，，

可得：，

解得：，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查了等比数列的基本量的运算，主要方法是列方程组求解，属于基础题.

15．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是_______．

【答案】等边三角形

【解析】由和余弦定理可得，由得，然后将化为即可.

【详解】因为

所以，因为

所以

因为，所以

所以，即，所以

所以，因为，

所以

所以是等边三角形

故答案为：等边三角形

【点睛】本题考查的是用正余弦定理判断三角形的形状，较为典型.

16．已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．

【答案】

【分析】画出曲线的图形，求出，过的直线方程为，判断直线为双曲线和的渐近线，设过点且与直线平行的直线方程为，当直线与曲线相切时，联立直线与椭圆方程，求出，然后求解平行线之间的距离，即可求解三角形的面积．

【详解】曲线C是由、

以及三部分构成（如图所示），

，且过AB的直线方程为，

并且直线为双曲线和的渐近线，

设过点P且与直线平行的直线方程为，

由图知，当直线与曲线相切时，

切点到直线距离最大，联立

消去得，，

解得（正根舍），

所以，所以点到直线的最大距离即为直线与直线之间的距离，所以最大距离，

所以面积的最大值为．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：（1）分类讨论，把问题转化为圆锥曲线问题，

（2）注意两个定点落在双曲线的渐近线上，

（3）直线与椭圆相切，利用判别式法确定参数的取值.

三、解答题

17．在中，角A、B、C所对的边分别是、、，已知.

（I）求角B的大小；

（II）若，求的取值范围.

【答案】（I）；（II）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意和三角函数公式化简可得，可得；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得，再由三角形三边关系可得.

试题解析：（I）由已知得，即，即，解得或（舍去），又因为，所以

（II）由余弦定理，有，因为，,

所以，又因为，所以，即.

18．长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.

（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.

【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）中位数和平均数的估计值都是.

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算可得职工月收入在内的概率为；

（Ⅱ）利用面积相等可得中位数的估计值为；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为.

【详解】（Ⅰ）职工月收入在内的概率为；

（Ⅱ）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是、、、、、，因此，中位数的估计值为；

平均数的估计值为.

综上可知，中位数和平均数的估计值都是.

【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

19．如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，．

（1）证明：；

（2）求A到平面PBD的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）先通过面面垂直和勾股定理的逆定理得到线线垂直，再得到线面垂直，从而得到线面垂直；

（2）运用等体积法运算即可.

【详解】（1）由余弦定理得，

∴，

又平面PDC底面ABCD，平面PDC底面

过作于，可得平面，

所以,又，平面PDC，

且，

∴平面PDC，

又平面PDC，.

（2）设A到平面PBD的距离为h

取DC中点Q，连结PQ, 是等边三角形，.

又平面底面ABCD，PDC底面ABCD ，平面PDC，

底面ABCD，且

由（1）知平面PDC，又平面PDC，.

∴，即

解得.

20．已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左、右顶点，点在上，且面积的最大值为

（1）求椭圆的方程；

（2）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点．证明：直线平分线段.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）由题可得,根据求得,进而得到椭圆的方程；

（2）设,可得直线的斜率为,分别讨论的斜率不存在与存在的情况,利用点差法求解得到,则,,三点共线,进而得证

【详解】（1）因为点,分别为椭圆的左、右顶点,

所以,,

因为点在上,则当位于上或下顶点时,面积最大,

所以,

所以,解得,故椭圆的方程为

（2）证明：设,,,

线段的中点,则,

由（1）可得,则直线的斜率为,

当时,直线的斜率不存在,根据椭圆的对称性可知平分线段；

当时,因为,所以直线的斜率,

因为点,在椭圆上,所以,作差可得,即,

所以,即直线OP的斜率为,

因为直线的斜率为,

所以,,三点共线,

所以直线平分线段

【点睛】本题考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,考查应用点差法求直线斜率,考查分类讨论思想,考查运算能力

21．已知函数，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；

（2）转化为证：，再两边构造函数，利用导数证明，且即可.

【详解】（1），切点坐标为，则有.   

所以切线方程为：，即.     

（2）要证：，即证.

令，   则，

当时，单调递减，当时，单调递增

所以.     

令，，

当时，单调递增，当时，单调递减

所以，.

所以，.   即.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了等价转化思想，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，与交于两点.

（1）求的直角坐标方程和的一个参数方程；

（2）若点是上的动点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（为参数）；（2）.

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式可得的普通方程；根据椭圆的普通方程可得参数方程；

（2）设，求出点到直线直线的距离的最大值，利用直线的参数方程中参数的几何意义求出，可得三角形面积的最大值.

【详解】（1）直线的极坐标方程化简为：，

故的普通方程为：.

曲线的参数方程为：（为参数）.

（2）设，点到直线直线的距离

，

直线的参数方程为：（为参数）代入，

得，设对应的参数为，从而可得，，

面积，

因此面积的最大值为.

【点睛】本题考查了极坐标方程化直角坐标方程，普通方程化参数方程，考查了点到直线的距离公式，余弦函数的最值，直线参数方程中参数的几何意义，三角形的面积公式，属于中档题.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求的解集；

（2）设函数，，若对任意的都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）化简，即解即，去绝对值求解即可；

（2）即的图象恒在图象的上方，作出函数图象，而图象为恒过定点，且斜率的变化的一条直线，右图可得范围.

试题解析：

（1）

∴，即，

∴①或②或③

解得不等式①：；②：无解；③：

所以的解集为

（2）即的图象恒在图象的上方，

可以作出的图象，

而图象为恒过定点，且斜率的变化的一条直线，作出函数，图象如图，

其中，，∴，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围应该为.