2022届西藏拉萨中学高三第六次月考数学（理）试题含解析

2022届西藏拉萨中学高三第六次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合,,则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，然后利用交集的运算性质求解即可.

【详解】∵，，

∴.

故选:.

2．已知复数满足，则（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】先由，得，化简求出，再求出

【详解】解：由，得，

所以，

故选：C

3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是（       ）

A．27 B．30 C．45 D．60

【答案】B

【分析】首先求得低于分的频率，由此求得该班参加竞赛的学生人数.

【详解】由频率分布直方图知低于60分的频率为，

∴该班参加竞赛的学生人数为．

故选：B

4．已知等差数列an的前n项和为Sn，a2a9＝13，S7＝35，则（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据已知条件求得，由此求得.

【详解】依题意，

所以.

故选：B

5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于的等式，则可解得的值.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心C到直线l的距离为，

由题意可知，，

解之得，即.

故选：B.

6．曲线在处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导，根据导数的几何意义求解即可.

【详解】解：由题知，

所以，，

所以曲线在处的切线方程为，即.

故选：A.

7．若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将化成的表达式，代入计算即得.

【详解】

.

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程.

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（       ）

A．3 B． C． D．3

【答案】C

【分析】把三视图还原并衬托在长方体中，利用勾股定理即可求解.

【详解】三视图可得原几何体为如图所示的三棱锥A－BCD，长方体的高为2，底面正方形边长为3，

∴该几何体的最长棱为AD＝．

故选：C.

9．设函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数图象过点，代入中可求出的值，再由五点作图法可知的值，从而可求得的解析式，然后由求出对称轴方程，进而可得答案

【详解】由图可知，，所以，

根据图象可知在单调减区间上，又，所以，

由上可知，

结合图象，由五点法，得，解得，

则，由，

所以，令时，，

故选：C.

10．抛物线y2＝2px（p0）的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，若直线AF的斜率为，＝4，则抛物线方程为（       ）

A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x

【答案】A

【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线方程.

【详解】∵直线AF的斜率为，

∵抛物线的定义知，∴△PAF为等边三角形，∴，

∴在Rt△AKF中，，∴抛物线方程为．

故选：A

11．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（       ）（参考数据：）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

【答案】D

【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.

【详解】由题知，，，所以，，可得，

所以，，.

故选：D.

12．已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由得到，构造函数，由，结合分离常数法以及导数求得的取值范围.

【详解】对任意的，都有，即，

在上单调通递增，

在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当时；当时，，

故，所以．

故选：C

二、填空题

13．的展开式中，x的系数为________

【答案】10

【分析】利用二项展开式的通项公式可求出结果.

【详解】二项展开式的通项公式为，

令，得，

所以的展开式中，x的系数为.

故答案为：10

14．已知向量，，且，则向量与的夹角为________.

【答案】60°

【分析】设向量，的夹角为，由求得，即可求出向量与的夹角.

【详解】设向量，的夹角为，

由题意可知，，由得，，

所以，所以.

因为，故向量与的夹角为.

故答案为：

15．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为__________

【答案】

【分析】计算双曲线的渐近线，过点P作x轴垂线，根据，计算的面积.

【详解】双曲线，一条渐近线方程为：

过点P作x轴垂线PM，

的面积为

故答案为

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力.

16．设数列an前n项和为Sn，若a1＝1，，则_____．

【答案】

【分析】利用化简已知条件，证得是等差数列，由此求得，进而求得

【详解】∵当时，，

整理可得，

数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

．

故答案为：

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.，的面积为.

(1)若，求a：

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角形的面积公式可求得的值，由结合可得，则可以求出的值，最后由余弦定理求出；

（2）根据正弦定理将分别用和表示出来，结合由三角形面积求出的的值，从而求出，由三角形内角和求出，最后根据两角和的余弦公式，即可求出的值.

【详解】(1)由的面积为，

得，所以.

由，得，所以.

所以由余弦定理，得，

即.

(2)由正弦定理得，

所以，

所以，所以.

由，得，

所以.

18．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：

(1)若测试的同学中，分数段､､､内女生的人数分别为2人､8人､16人､4人，完成列联表，并判断：是否有99%以上的把握认为性别与安全意识有关？

(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望；

(3)某评估机构以指标，其中表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应吊证安全教育方案.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

附表及公式：，其中.

【答案】(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为性别与安全意识有关.

(2)分布列答案见解析，数学期望：

(3)我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案

【分析】（1）由得分在的频数和频率求出抽取的学生答卷总数，从而可求出的值，进而可完成列联表，然后根据公式求出，再由临界值表判断即可，

（2）先求出抽取的10人中“不合格”和“合格”人数，则可得X可能的取值为0，5，10，15，20，然后求出各自对应的概率，从而可得分布列和数学期望，

（3）由（2）求出，再计算，然后根据题意判断

【详解】(1)由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数，∴，，

性别与合格情况的列联表为：

∵

∴没有99%的把握认为性别与安全意识有关.

(2)“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可能的取值为0，5，10，15，20，

，，，

，，

故X的分布列为：

所以

(3)由（2）知：，

∴，

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3.点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点.

（1）证明：直线MN∥平面PAB；

（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，证明，即得证；

（2）利用向量法求二面角C﹣PD﹣N的正弦值.

【详解】解：（1）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），

D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）.

显然，是平面ABP的一个法向量，，

故，即，

又因为MN⊄平面PAB，故直线MN∥平面PAB.

（2）设平面PCD的法向量为，

又，

由，得取z＝2，可得.

由已知，可得.

设平面PDN的法向量为，有，

取z＝1，可得.

所以，

因此

所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为.

20．已知椭圆的离心率为，A，B是E的上，下顶点，是E的左､右焦点，且四边形的面积为.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若P，Q是E上异于A，B的两动点，且，证明：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题知，，进而结合得，故椭圆E的标准方程为.

（2）根据题意设直线的方程为，与椭圆方程联立得，进而得直线的方程为，再与椭圆方程联立得，故直线的方程为，再整理即可得，即可证明.

【详解】(1)解：由题意可知，

又，且四边形为菱形，

所以.

又，所以，

故椭圆E的标准方程为.

(2)证明：由（1）知点，设直线的方程为，

由得，

解得，所以.

由可知，则直线的方程为，

由得，

解得，所以.

易知直线的斜率存在，且.

所以直线的方程为.

整理得，.

故直线恒过定点.

21．已知函数．

（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；

（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，）上恒成立，求k的取值范围．

【答案】（1）减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）；（2）．

【分析】（1）利用导数求得的单调区间；

（2）化简为，构造函数，结合对进行分类讨论，利用求得的取值范围.

【详解】（1）的定义域为

当a＝3时，，

，

当时，是减函数，

是増函数，

所以，f(x)的减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）．

（2）当a＝1时，，

，即，

设，则只需在恒成立即可．

易知，

，

①当时，，此时g(x)在上单调通减，

所以，与题设矛盾；

②当时，由得，

当时，，当时，，

此时在上单调递减，

所以，当时，，与题设矛盾；

③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．

综上，．

【点睛】利用导数求得函数的单调区间时，要首先求得函数的定义域.

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，曲线与交于A，B两点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数，即得到曲线的普通方程，根据将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程化为标准式，再代入曲线的直角坐标方程，根据直线的参数方程参数的几何意义计算可得；

【详解】(1)解：将（t为参数）消去参数，可得曲线的普通方程为.

由，得，所以，即，

故曲线的直角坐标方程为.

(2)解：易知点在直线上，所以曲线的参数方程为（t为参数）.

代入，得，

所以，则，

故.

23．已知函数的最大值为4．

(1)求的值；

(2)若均为正数，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值三角不等式求最值及参数值；

（2）由柯西不等式求最值.

【详解】(1)解：由，

得函数的最大值为．．

解得：或，又，

(2)解：由均为正数，，

又．

当且仅当时取“”，又，即时取“”

所以的最小值为．