2022届陕西省汉中市十校高三下学期第二次联考数学（理）试题含解析

这是一份2022届陕西省汉中市十校高三下学期第二次联考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届陕西省汉中市十校高三下学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的四则运算化简复数，即可得出结果.【详解】，因此，复数的虚部为.故选：D.2．已知集合A＝{x∈Z|－4x－5<0}，B＝{x|>}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)A．[3，6) B．[1，2)C．[2，4) D．(2，4]【答案】C【分析】先化简集合A和B,再根据A∩B有三个元素得到1≤<2，解不等式即得解.【详解】∵A＝{x∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x>}，A∩B有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据A∩B有三个元素得到1≤<2，注意右边不能取等.3．某人从甲地去乙地共走了600m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（       ）A．100m B．120m C．160m D．200m【答案】D【分析】由题可知物品不掉在河里的概率为，根据与长度相关的几何概型即可计算.【详解】由已知易得物品遗落在河里的概率，∴=200(m)．故选：D.4．设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数的单调性判断a，b，c的大小.【详解】由指数函数单调递增，且，而，所以.故选：A5．旅游体验师小李受某旅游网站邀约，决定对甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为m，那么二项式的展开式中的系数为（       ）A．60 B．80 C．2800 D．4500【答案】B【分析】先分甲景区最后旅游和甲景区不最后旅游两种情况，计算出m，再按照二项展开式求项的系数.【详解】若甲景区最后旅游，则乙､丙，丁三个景区任意排，故有种，若甲景区不最后旅游，则丙景区最后旅游，故有种，根据分类计数原理，共有种，二项式的展开式中的系数为，的系数为80.故选：B.6．若，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.【详解】由，令，则，所以，对于，即.故选：A7．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（       ）A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱【答案】B【分析】设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，由题意可得，解得即可．【详解】因为七人的钱数为等差数列，设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，由题意可得，解得，，∴乙的钱数为101－2×(－7)＝115.故选：B.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大棱长为（       ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】在长方体中还原该几何体，然后可得答案.【详解】由题知，该几何体可以扩为长方体ABCD－A1B1C1D1，，其中三棱锥A1－ABC为该几何体，最大棱长A1C=7．故选：D9．已知M是抛物线C：上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，则点M的横坐标为（       ）A．－3 B．－2 C．－4 D．－2【答案】A【分析】设，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，所以有，求出，又因为M是抛物线C上的一点，代入抛物线方程即可求出答案.【详解】设，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，由抛物线性质知，则，代入抛物线C：，得．故选：A.10．已知函数的部分图象如下图所示，若，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图形得到与，即可求出，再根据函数过点，代入函数解析式，求出即可得到函数解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意，，故，故，故，将点代入可得，因为，解得；故，则，令，解得，故的单调递增区间为.故选：C11．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由于点P在双曲线的右支，则可得，再结合已知条件可得，，而，则，将前面的式子代入化简可求出离心率【详解】因为点P为以为直径的圆与双曲线的右支的交点，所以，结合，得，，又因为点P在以为直径的圆上，所以，即，所以，整理得，解得（舍去），或，所以双曲线的离心率.故选：C12．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，由，则，令，解得或（舍去），故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A.二、填空题13．已知函数，则____________．【答案】【分析】分别计算即可.【详解】．故答案为：.14．已知向量，，若，则实数___________.【答案】【分析】根据，可得，再根据数量积的运算律及坐标运算计算即可得解.【详解】解：因为，所以，即，所以，解得.故答案为：.15．已知数列满足，，则数列{}的前9项和为______________．【答案】8149【分析】利用通项公式求出，然后利用错位相减求和即可.【详解】由题可知：，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，设的前9项和为，的前9项和为所以①，②，①-②得，所以．故答案为：8149.16．如图所示，正方体的棱长为1，E､F分别是棱是，的F中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，设，使得四边形MENF的面积最小时的x的值为___________.【答案】0.5【分析】连结MN，由线面垂直的性质有，则，结合已知条件及正方体性质判断面积最小时的位置，即可得的长.【详解】连结MN，因为面，面，所以，所以，而四边形MENF的对角线EF为定值，要使最小只需MN的长度最小，正方体中当M为中点即时 MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小.故答案为：三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，(1)求C；(2)若，且△ABC面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利用和差的正弦公式，即可求；（2）若，且面积为，求出，，三角形外接圆的直径，即可求的值.试题解析：（1）在中，由，可得，又.在中，由余弦定理可知，则，又，可得，那么.可得.由正弦定理.可得.18．某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.   （1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这名学生成绩在内的人数；（3）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则，【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】【详解】试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数相乘即可求出这名学生成绩在内的人数；（3）的所有可能取值为 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：（1）    （2）.                                                                   （3），则..所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.上述名考生成绩中分以上的有人.随机变量.于是，，.的分布列： 数学期望.19．如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）要证平面，可证平面即可，通过勾股定理可证明，再利用线面垂直可证，于是得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积公式即得答案.【详解】（1）证明：在梯形中，∵，设又∵，∴∴∴，则∵平面，平面∴，而∴平面∵，∴平面（2）分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系设则，，，，∴，，设为平面的一个法向量，由，得，取，则∵是平面的一个法向量，∴∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直证明，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.20．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设，是曲线图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)单调递增区间和，单调递减区间；(2).【分析】（1）对求导，根据其导函数符号确定单调区间；（2）由题意，构造即有，进而转化为在上恒成立，即可求范围.(1)当时有，则.令得：或，令得：.∴的单调递增区间和，单调递减区间.(2)由题意，，则，令，则在上单调递增，，∴在上恒成立，即在上恒成立，而，当且仅当时取等号，∴.21．如图，已知椭圆C：经过点(1，)，且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且MN与x轴不垂直．(1)求椭圆C的方程；(2)过点A作交椭圆C于点P，若，求△OMN的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程；（2）设直线AP的方程为，联立直线与椭圆方程，即可求出，，从而得到，则，再设，，直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据得到，最后根据计算可得；(1)解：由题意得，，解得，故椭圆C的方程为：．(2)解：设直线AP的方程为代入得，它的两个根为－2和，可得，从而．因为，所以设，，因直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，代人得则，化简得∴△OMN的面积等于22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，圆C的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)射线OM：(其中)与圆C交于O，P两点，将射线OM逆时针旋转与直线l交于点Q，求的取值范围．【答案】(1)， (2)(0，]【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即可，（2）由题意利用极坐标求出，则可求出，然后利用三角函数的性质可求出其范围(1)直线l的极坐标方程分别是，由，得，则所以圆C的极坐标方程分别是(2)由题意得，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是(0，]23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，分， ，求解； （2）由，利用三角不等式证明.(1)解：∵时，∴当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时无解；综上： 的解集为．(2)证明：，又，当时，取“=”∴