2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（文）试题含解析

  江西省上饶市六校2022届高三第二次联考

数学（文科）试题

考试时间：120分钟      满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．若复数z在复平面内对应的点为，则其共轭复数的虚部是（       ）

A． B． C．1 D．

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为(       )

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

4．已知，则a，b，c的大小关系为(       )

A． B． C． D．

5．已知，则（       ）

A． B． C． D．

6．等比数列中，若，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．9

7．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本数据平均数为6，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

8．若经过点的直线与圆相切，则该直线在y轴上的截距为(       )

A． B．5 C． D．

9．己知函数的图像向左平移个单位长度后，得到偶函数的图像，则的取值可以是（       ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（       ）

A． B． C．或 D．或

11．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，截面与直线平行，与交于点E，则下列说法错误的是（       ）

A．平面 B．E为的中点

C．三棱锥的外接球的体积为 D．与所成的角为

12．已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知向量，的夹角为，且，，则向量___________.

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.

15．己知椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，设线段的中点为M，且，则的面积为___________.

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.

三、解答题

17．在迎接年北京冬季奥运会期间，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值；

(2)从比赛成绩在和两个分数段内按照分层抽样随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生恰好来自不同分数段的概率.

18．在等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

19．如图，点C是以为直径的圆O上异于A，B的动点，平面，四边形是直角梯形，且.

(1)证明：平面；

(2)当三棱锥的体积最大时，求点E到平面的距离.

20．已知抛物线的焦点为，，若点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线与抛物线交于两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数，若恒成立，求实数a的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为：，曲线的参数方程是（为参数），点.

(1)求曲线和的极坐标方程；

(2)设射线分别与曲线和相交于A，B两点，求的面积.

23．若不等式的解集为.

(1)求n的值；

(2)若正实数a，b，c满足，证明：.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解

【详解】

复数z在复平面内对应的点为，可得，所以，共轭复数，共轭复数的虚部是

故选：D

2．A

【解析】

【分析】

解不等式得集合A，求二次函数值域得集合B，然后由集合的交集运算可得.

【详解】

由解得，即，

易知，即

则.

故选：A

3．D

【解析】

【分析】

根据或且非命题真假判断即可.

【详解】

若是真命题，是假命题，则p和q一真一假；

若是真命题，则q是假命题，r是真命题；

综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”.

故选：D.

4．C

【解析】

【分析】

根据对数函数的单调性即可判断.

【详解】

，，

∵，∴，

∵，∴﹒

故选：C.

5．A

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.

【详解】

由，得

，

，，

，

所以.

故选：A.

6．C

【解析】

【分析】

先求出，再计算求解即可.

【详解】

根据等比中项得，

所以.

故选：C.

7．B

【解析】

【分析】

设出样本数据，列出方程组，先排除D选项，再假设最大值为10，得到，由于样本数据互不相同，排除10，假设最大值为9，通过令得到正确答案.

【详解】

设样本数据为，其中，

由题意得：①，

②，

由于，故样本数据中最大值不是11，

若样本数据中最大值为10，不妨设，代入②中得：③，

由于样本数据互不相同，故③不成立，

若样本数据中最大值为9，不妨令，此时有，，

不妨令满足要求，故样本数据中最大值为9.

故选：B

8．C

【解析】

【分析】

判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为，根据直线方程的点斜式写出切线方程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.

【详解】

∵，∴P在圆上，

设圆心为O，则，则过P的切线斜率，

∴切线方程为：，

令得.

故选：C.

9．B

【解析】

【分析】

先通过平移求出，根据为偶函数，得到，，从而求出的取值.

【详解】

，由于为偶函数，故，，故，，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合要求.

故选：B

10．B

【解析】

【分析】

先根据离心率求出，进而可得渐近线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系可得渐近线的夹角.

【详解】

当，即时，，解得，

则双曲线

此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，

所以双曲线E的两条渐近线的夹角为；

当，即时，，解得，

则双曲线

此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，

所以双曲线E的两条渐近线的夹角为；

故选：B.

11．D

【解析】

【分析】

对于A，由线面垂直的判定定理证明，

对于B，由线面平行的性质定理证明，

对于C，找出外接球的半径后计算，

对于D，由异面直线所成角的定义求解

【详解】

连接，交于点，

对于A，底面，，

又底面是菱形，，

而，平面，A正确，

对于B，截面与直线平行，而平面平面，

，而是中点，故E为的中点，B正确，

对于C，由题意得，，

故三棱锥的外接球半径为，

外接球的体积为，C正确

对于D，由题意得，与所成的角为即为，D错误

故选：D

12．C

【解析】

【分析】

求导后可知时不合题意；当时，可确定极值点为；分别在、和的情况下，根据在上恰好有一个整数解可确定整数解，由此可构造方程组求得的范围.

【详解】

，

当时，恒成立，在上单调递增，不存在极值点，不合题意；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

的极小值点为，无极大值点；

在上存在极值点，在上恰好有唯一整数解，又，

则当，即时，，不合题意；

当时，则的唯一整数解为，

，，，解得：；

当时，则的唯一整数解为，

，，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过对于极值点位置的讨论，确定时的整数解，从而确定整数解及其两侧的整数对应的函数值的符号，由此构造不等式组求得参数范围.

13．

【解析】

【分析】

根据题意得，化简求解即可.

【详解】

因为，

所以，

所以，解得（舍去），.

故答案为：.

14．30

【解析】

【分析】

由题得该几何体为一个被切去一个角的三棱柱，利用体积公式计算即可.

【详解】

该几何体为一个被切去一个角的三棱柱，

体积为

故答案为：30.

15．

【解析】

【分析】

由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得，再用余弦定理和面积公式求解即可.

【详解】

由题意可得，，.

因为分别是和的中点，所以，，根据椭圆定义，可得，又因为，所以，，所以，

，

故的面积是.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

在中，由正弦定理得，可求出，再根据，当且仅当圆心在上时取等号，可求得的最大值.

【详解】

由，得，因为，，所以，

设外接圆的圆心为，半径为，

则由正弦定理得，

如图所示，取的中点，

在中，；

在中，

，当且仅当圆心在上时取等号，

所以的最大值是，

故答案为：．

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用频率和为可直接求得结果；

（2）根据分层抽样原则可确定中应抽取人，中应抽取人；列举出名学生中随机抽取两名学生所有的基本事件和两名学生恰好来自不同分数段的基本事件，由古典概型概率公式可得结果.

(1)

，.

(2)

比赛成绩在和的频率之比为，

中应抽取人，记为；中应抽取人，记为；

从名学生中随机抽取两名学生有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；

其中两名学生恰好来自不同分数段的情况有，，，，，，，，，，共个基本事件；

两名学生恰好来自不同分数段的概率.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）列出公差和首项的方程组求解即可；（2）利用错位相减法求和即可.

(1)

设等差数列的公差为，由，，

得：，解得：

数列的通项公式为：.

(2)

由（1）知：，

所以①

②

①减去②得：

，

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取的中点M，连接，即可得到，从而得到平面，再证，即可得到平面，从而得到平面平面，即可得证；

（2）在中，设，根据利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，即可求出，再根据利用等体积法求出点到平面的距离；

(1)

证明：如图，取的中点M，连接.

在中，O是的中点，M是的中点，

所以平面平面，

故平面，

在直角梯形中，，所以，

∴四边形是平行四边形，所以，平面平面，

所以平面

又，平面，故平面平面，

又因为平面，所以平面.

(2)

解：中，设，则，

所以，

因为平面，

所以

，

当且仅当，即时，

三棱锥的体积最大，最大值为，

此时，

，

设点E到平面的距离为d，由得：，

所以.

20．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线焦半径公式可直接求得，由此可得抛物线方程；

（2）设，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式可表示出中点坐标，由此可得垂直平分线方程，根据直线过定点的求法可得结论.

(1)

，，抛物线的方程为：；

(2)

直线斜率不为零，可设，，，

由得：，则，即，

，

，；

中点，

当时，垂直平分线方程为：，即，

当时，，即垂直平分线过定点；

当时，，，则线段的垂直平分线为，恒过；

综上所述：线段的垂直平分线过定点.

【点睛】

思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义求解；

（2）求导，令，分，和讨论求解.

(1)

解：当时，，

所以，

所以，

所以在点处的切线方程为：，

即：.

(2)

，

则，

令，

当时，当时，，

当时，，得，

所以当时，在上单调递增，且，

所以时，，此时；

时，，此时；

当时，，此时有两个零点，设为，且，

因为，

所以，

在上单调递减，所以此时，

即不恒成立.

综上所述：.

22．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）由公式法求极坐标方程

（2）联立方程后分别求出A，B坐标，及到直线距离后求面积

(1)

曲线的直角坐标方程为：，

将代入上式并化简，

得曲线的极坐标方程为：.

曲线的普通方程是：，

将代入上式并化简，

得曲线的极坐标方程为：.

(2)

设，

则，

，所以，

所以.

又到直线的距离为：

所以.

23．(1)

(2)证明见解析

【解析】

(1)

由题意知：为方程的根，

所以，即，

由，

当时，，解得，即；

当时，，解得，即；

当时，，解得，即，

综上，，所以.

(2)

证明：由（1）可知，a，b，c均为正实数，

则

当且仅当，，时等号成立，

所以，即成立.