2022届吉林省实验中学高三上学期第一次诊断测试数学（文）试题含解析

这是一份2022届吉林省实验中学高三上学期第一次诊断测试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届吉林省实验中学高三上学期第一次诊断测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用补集0.及并集的定义运算即得.【详解】∵集合，，，∴.故选：C.2．已知是虚数单位，复数在复平面中对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】化简，从而求出其在复平面内对应的点所在的象限．【详解】因为是虚数单位，复数；则在复平面内对应的点位于第四象限；故选：．3．已知命题p：，，命题q：，，则（       ）A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题【答案】C【分析】判断出命题与的真假，再结合真值表可得答案.【详解】因为，所以命题为真命题；令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以命题q为假命题，所以为真命题，又命题为真命题，故是真命题，是假命题，是真命题，是真命题.故选：C.4．果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%.则采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是（       ）后A．第12天 B．第13天 C．第15天 D．第18天【答案】C【分析】根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去20%新鲜度对应的时间.【详解】由题可得，解得，故，故，由可得，.故选：C.5．函数的图象在处的切线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，故，因为，因此，函数的图象在处的切线方程为，即.故选：A.6．若函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用函数的图象平移变换与放缩规律，即可得出结论．【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线的图象；再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线的图象，故选：C．7．的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式、两角差的正切公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】．故选：C.8．过双曲线C：的左焦点且垂直于x轴的直线交C与M，N两点，若为直角三角形，则C的离心率为（       ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由题可得，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率.【详解】由题可得，代入双曲线，解得，为直角三角形，则，，，，，又，.故选：D．9．设是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，，，则②，则③若，则④若，则，其中正确的命题个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据各项所描述的线面、面面关系，结合平面的基本性质判断正误.【详解】，，，，则相交或平行，故①错误；，由线面垂直的性质定理可得：，故②正确；，则或，故③错误；，当与两平面交线垂直时，否则与不垂直，故④错误故选：B.10．已知点是角终边上一点，且，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用给定条件结合三角函数定义求出x，进而求出，再利用和角的余弦公式计算即可.【详解】因点是角终边上一点，则有，而，于是得，解得，则，因此，，所以等于.故选：A11．已知函数，则关于x的函数的零点的个数为（       ）A．8 B．7 C．5 D．2【答案】B【分析】问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．【详解】根据题意，令，得或．作出的简图：由图象可得当或时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数的零点的个数为7．故选：B．12．已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（       ）A．0 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得：，，即可得到答案.【详解】由得的图象关于对称，同时函数，则，即的图象也关于对称，则函数与图象的交点关于对称，则不妨设关于点对称的坐标为，，则，，则，，同理可得：，，即.故选：．二、填空题13．设向量，，若，则___________.【答案】【分析】运用向量的加减运算和向量垂直的条件，计算即可得到所求值．【详解】向量，，则，若，可得，即有，即为，解得故答案为：．14．已知数列为等差数列，，则________．【答案】144【分析】根据等差数列的性质可求得=24，再利用等差数列的前n项和公式代入求解即可.【详解】因为，所以=48，故答案为：14415．若函数，则的解集为___________.【答案】【分析】由题可得或，解之即得.【详解】由可得，或，解得或，所以的解集为.故答案为：.16．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.【详解】∵，，使得成立，∴．由，得，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴函数在区间上的最小值为．又在上单调递增，∴函数在区间上的最小值为，∴，即实数的取值范围是．故答案为：.三、解答题17．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简函数，进而可得周期；（2）利用正弦函数的性质可得函数的值域.(1)∵，∴，∴的最小正周期；(2)由，得，所以，∴，所以在上的值域为.18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若，，且，求a.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.(1)）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.(2)∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.19．已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值(2)【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．(1)当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.(2)因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．20．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：年龄（单位：岁）频数510151055赞成人数51012721 (1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成的人数   不赞成的人数   合计    (2)若从年龄在和的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中2人“红包”奖励，求2人中至少有1人年龄在的概率.参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；(2).【分析】（1）根据条件填写列联表，结合公式求，即得；（2）根据分层抽样确定抽取2人，抽取4人，再利用列举法即求.(1)根据条件得列联表： 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成的人数102737不赞成的人数10313合计203050 根据列联表所给的数据，计算得到的观测值为所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.(2)由分层抽样可知：（岁）抽取（人）；（岁）抽取（人）年龄在（岁）记为A，B，年龄在（岁）记为a，b，c，d，则从6人中任取2人的所有情况为：､､､，､､､､､､､､､､，共15种情况，其中至少有一人年龄在岁的情况有：､､､､､､､､，共9种情况.记至少有一人年龄在岁为事件A，则.故至少有一人年龄在岁的概率为.21．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意，都有成立，其中且，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，讨论即可得出单调性；（2）由题可得，构造函数，则可得在上恒成立，即在上恒成立，求出的最大值即可得出.(1)因为函数，所以，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，在上恒成立，则在上递增，在上恒成立，则在上单调递减，不妨设，因为对任意，都有，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知在上单调递增，则其最大值为，因为，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等问题，其中重点考查双变量不等式恒成立问题中的构造函数，将问题转化为在上单调递减，即在上恒成立是解题的关键.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；（2）当时，是曲线上一点，是曲线上一点，求的最小值．【答案】（1）曲线的普通方程为，，，是以，为端点的线段；（2）.【分析】（1）当可得，消参可得；（2）当时，曲线的普通方程为椭圆：，设椭圆上一点到直线上的距离，利用三角函数的最值即可得解.【详解】（1）当时，消得，，，            是以，为端点的线段． （2）当时，曲线的普通方程为椭圆：；曲线的普通方程为直线：；可知直线与椭圆相离，则的最小值为到直线的距离最小值．     则，当时，有最小值．23．已知均为正实数，且.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）利用柯西不等式，即可得证；（2）运用重要不等式，，，由累加法和，即可得证．【详解】解：（1）均为正实数，且，由柯西不等式可得，当且仅当时，取得等号，所以；（2）由，，，可得，，，当且仅当时取等号，三式相加可得，当且仅当时，取得等号，即．