2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区、黄陂区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区、黄陂区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

5. 下列命题中，其逆命题是真命题的是

A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 如果两个角是直角，那么它们相等
C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等
D. 全等三角形的对应角相等

6. 如图，▱中，点是对角线、的交点，过点的直线分别交、于点、，若的面积为，的面积为，则▱的面积是

A.  B.  C.  D.

7. 计算的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两角边分别是、，且，大正方形的面积是，则小正方形的面积是

A.
B.
C.
D.

9. ▱的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

10. 已知三角形的边长分别是、、，则这个三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算：______．
12. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和是______．

13. 若与可以合并，则的最小正整数值是______．
14. 若两直角边上的中线分别是和，则与的比值是______．
15. 已知，则代数式的值为______．
16. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接，若将沿翻折，点落在点处，连接，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知，，，求代数式的值．
    已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：如图，在▱中，、是对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．

20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是．
    分别求出线段，的长度；
    在图中画出线段，使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图一艘轮船以海里小时速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时剥得灯塔在北偏东方向上．
    求的度数；
    已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？

22. 如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，请在网格中仅用无刻度直尺画图，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果．
    在图中画出中边上的高；
    在图中过点画直线，使直线平分的面积；
    在图中画出的角平分线；
    在图中的边上画出点，连接，使．

23. 已知：如图，平行四边形，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，，判断四边形的形状，并证明你的结论．

24. 如图，在▱中，，将沿翻折至，连接．
    求证：；
    如图，若，，，则______，______．
    如图，若，，，与边相交于点，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：



，
故选：．
利用平方差公式进行运算，再化简即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题是真命题；
B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，逆命题是假命题；
C、若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

6.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点，
四边形是中心对称图形，
≌，
，
又，
；
▱的面积．
故选：．
由于四边形是平行四边形，得出≌，现在可以求出，再根据是中点就可以求出即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
 

7.【答案】
 

【解析】解：原式，
故选：．
先化简二次根式再计算．
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设直角三角形的斜边为，
大正方形的面积是，
，
直角三角形的两角边分别是、，
，
，
，
，
，
解得，





，
故选：．
根据大正方形的面积可以得到直角三角形斜边的平方，再根据和勾股定理，可以得到的值，然后根据，代入数据计算即可．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是求出的值．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，▱的顶点坐标分别是为，，，

点的坐标，
故选：．
根据平行四边形的性质，画出图形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是正确画出图形，属于中考基础题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，过作于，
，
，
，，，
，
，
，
三角形的面积，
故选：．
如图，过作于，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
根据二次根式的除法计算，然后化简二次根式即可得出答案．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：正方形的面积为：，
正方形的面积为：；
在中，，，
则．
即正方形和正方形的面积和为．
故答案为：．
小正方形的面积为的平方，大正方形的面积为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
的最小正整数值是．
故答案为：．
化简，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

14.【答案】：
 

【解析】解：如图，，

由勾股定理可得：，，，
得，
，是的中线，
，，
，
，
即与的比值是：．
故答案为：：．
由勾股定理可得，，，再将等式变形为：，结合三角形中线的性质可得，进而可求解．
本题主要考查勾股定理，三角形的中线，灵活运用勾股定理解题是求解的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，








，
故答案为：．
把所求的式子变形为，然后再把的值代入进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，把所求的式子变形为是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，四边形是矩形，
，，
是边的中点，
，
，
由折叠得，，
，
，，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，由四边形是矩形，得，，而是边的中点，则，所以，由折叠得，，，可证明，由得，则，得，再根据勾股定理求出的长即可．
此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，证明是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
 

【解析】先化简各二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】解：当，，时，





；
当时，





．
 

【解析】把相应的值代入式子进行运算即可；
把所求的式子进行分解，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】证明：连接，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】先连接，交于，由于四边形是平行四边形，易知，，而，根据等式性质易得，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．
 

20.【答案】解：，；

能构成直角三角形，理由：，，
 

【解析】利用勾股定理求得、的长度即可；
因为的长为，由此画出，进一步利用勾股定理逆定理判定即可．
此题考查勾股定理与逆定理的运用，正确理解掌握勾股定理解决数形结合的问题．
 

21.【答案】解：作于．
则，
，，
；
，
海里，
在中，，
海里，
，
轮船继续向正东方向航行是安全的．
 

【解析】作于根据平行线的性质求出，，即可求出的度数；
解直角三角形求出的值即可判定．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，直线即为所求；
如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求．

 

【解析】根据三角形的高的定义画出图形即可；
过点和的中点作直线即可；
利用等腰三角形的三线合一是等腰三角形，取的中点作射线，画出图形即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求利用直角三角形斜边中线的性质解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
≌，
，
．

解：结论：四边形是矩形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
≌，
，，
，
四边形是矩形．
 

【解析】只要证明，即可解决问题；
结论：四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】 
 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
将沿翻折至，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
设、相交于，
，
是等腰三角形，
即与▱重叠部分的图形是等腰三角形；
，，
，
，
，，
，
；
解：如图，

在平行四边形中，，将沿翻折至，
，
，
，
，
，
，
；
作于，
，
，
，
，，
，
故答案为：；；
解：如图，作于，

，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
通过三角形全等即可求得，进而根据等腰三角形的性质证得，根据平行线的判定即可证得结论；
根据对折的性质求得，从而求得，由于，得出，进而即可求得；作于，根据解直角三角形即可求得；
作于，通过解直角三角形求得，，进而求得，设，根据勾股定理即可求得值，即的值．
本题属于几何变换综合题，主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．