2021-2022学年广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三（上）联考数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三（上）联考数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三（上）联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021秋•上月考）已知集合，集合，则　　
A． B．， C．， D．
2．（5分）（2021秋•上月考）若，，，，则下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
3．（5分）（2021秋•上月考）命题：若，则；命题：函数有且仅有一个零点，则下列为真命题的是　　
A． B． C． D．
4．（5分）（2021秋•上月考）函数对任意都有成立，且函数的图像关于点对称，（1），则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）（2021秋•龙华区校级月考）已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
6．（5分）（2021秋•青海期中）设，，，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021•浙江模拟）已知，，，若，则下列结论一定成立的是　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021秋•滨海县校级期中）已知函数若不等式在，上有解，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021秋•上月考）下列说法正确的是　　
A．“且”是“”的充要条件
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．命题“若，则．”的逆否命题为真命题
D．命题：“，使得”，则非：“，”
10．（5分）（2021秋•上月考）在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是　　
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．已知不是直角三角形，则
11．（5分）（2021秋•湖北月考）下列说法正确的是　　
A．若，则函数的最小值为
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是4
D．已知，则的最大值为
12．（5分）（2021秋•上月考）若函数有两个极值点，，则　　
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021秋•上月考）曲线过点的切线方程为 　　．
14．（5分）（2021秋•上月考）已知，若，则　　．
15．（5分）（2021秋•上月考）一医用放射性物质原来质量为，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用时间是10年．已知到今年为止，剩余为原来的，到今年为止，该放射物质已经衰减了 　　年．
16．（5分）（2021秋•上月考）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021秋•上月考）已知，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
18．（12分）（2021秋•上月考）函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记，．
（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（12分）（2021秋•莎车县校级期中）已知定义在上的函数满足，且当时，
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
20．（12分）（2021秋•上月考）已知函数，为常数）在内有两个极值点，．
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：．
21．（12分）（2021秋•上月考）已知函数．
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数．
22．（12分）（2021秋•上月考）已知函数．
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三（上）联考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021秋•上月考）已知集合，集合，则　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：集合，集合，
，．
故选：．
2．（5分）（2021秋•上月考）若，，，，则下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当，时，选项中的不等式不成立，
当时，选项中的不等式不成立，
当，时，选项中的不等式不成立，
在上是增函数，又，
，故选项正确；
故选：．
3．（5分）（2021秋•上月考）命题：若，则；命题：函数有且仅有一个零点，则下列为真命题的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，对于，若，则或，是假命题；
对于，函数有且仅有一个零点，是真命题，
则是真命题，、、是假命题，
故选：．
4．（5分）（2021秋•上月考）函数对任意都有成立，且函数的图像关于点对称，（1），则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：函数的图象关于对称
且把向左平移1个单位可得的图象，
函数的图象关于对称，即函数为奇函数，
，
，又，
，
，
函数是以4为周期的周期函数，
，
（1），
（2），
即有．
故选：．
5．（5分）（2021秋•龙华区校级月考）已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数的导数，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，则，
若对任意，，都有成立，
即当时，恒成立，即恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
当时，，
即在上单调递减，
由于（1），则当时，；当时，，
（1），
，
故选：．
6．（5分）（2021秋•青海期中）设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
，，
，
故选：．
7．（5分）（2021•浙江模拟）已知，，，若，则下列结论一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，可知，，
整理可得：，
构造函数，，
，故在上单调递增，
．而的大小不能确定．
故结论一定成立的是．
故选：．
8．（5分）（2021秋•滨海县校级期中）已知函数若不等式在，上有解，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：时；时，；
同理可得，当时，，综上可知，恒成立，故是偶函数，
又因为时，是单调增函数，所以不等式在，上有解，则在，上有解，
即在，上有解，即在，上有解，
所以，且，
所以，且，故．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021秋•上月考）下列说法正确的是　　
A．“且”是“”的充要条件
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．命题“若，则．”的逆否命题为真命题
D．命题：“，使得”，则非：“，”
【解答】解：对于：取，此时有成立，故错误；
对于：方程有一正一负根，则，故正确；
对于：由，解得，故正确；
对于：“，使得”的否定为“，”，故正确．
故选：．
10．（5分）（2021秋•上月考）在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是　　
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．已知不是直角三角形，则
【解答】解：对于，若，则，
则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于，在中，“”，由余弦函数在是减函数，故有，
可得，即有，
则“”可以推出“”，故正确；
对于，为锐角三角形，，则，
在上是增函数，，
同理可得，，
，故正确；
对于，不是直角三角形，
、、均不为直角，
且，任意两角和不为，
由两角和的正切公式可得，





，故正确．
故选：．
11．（5分）（2021秋•湖北月考）下列说法正确的是　　
A．若，则函数的最小值为
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是4
D．已知，则的最大值为
【解答】解：对于，因为，
所以，
（当且仅当时等号成立），
此时有最大值为，故错误；
对于，因为，
所以，
所以（当且仅当时等号成立），
所以原式有最小值3，故正确；
对于，因为，，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
整理得，
解得（舍去）或（当且仅当时等号成立），
所以的最小值为4，故正确；
对于，原式通分得，
由于，
则，，
原式（当且仅当时等号成立），
所以原式有最大值为，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021秋•上月考）若函数有两个极值点，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令得，，
作出函数，的图象，依题意可知，两函数图象有两个交点，
函数是过定点的直线，设直线和曲线相切于点，，则，
解得，
要使这两个函数有两个交点，则，则，
由于切点为，故，则，故选项正确；
设，则，
又，故，
当时，，于是，故选项正确；
由题意可得，即，而在定义域内单调递增，
，即，
，故选项正确；
由图象可知在，，单调递增，在，单调递减，
又，则，故选项错误．
故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021秋•上月考）曲线过点的切线方程为 　　．
【解答】解：由，得，设切点为，，
则，则曲线在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，即，
令，则，该函数为上的增函数，
又，当时，，当，时，，
则在上单调递减，在，上单调递增，
又当时，，，（e），
在上有唯一零点，
即方程的解为．
曲线过点的切线方程为，即．
故答案为：．
14．（5分）（2021秋•上月考）已知，若，则　　．
【解答】解：因为，若，
所以，，可得，
则．
故答案为：．
15．（5分）（2021秋•上月考）一医用放射性物质原来质量为，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用时间是10年．已知到今年为止，剩余为原来的，到今年为止，该放射物质已经衰减了 　5　年．
【解答】解：设每年衰减的百分比为，
则，即，解得，
设经过年剩余的质量为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，该放射物质已经衰减了5年．
故答案为：5．
16．（5分）（2021秋•上月考）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 　　．
【解答】解：设，，
由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，
因为，
令，可得，单调递增，
令，可得，单调递减，

所以当时，取得最小值，
若时
当时，，，
当时，，（1），
根据图形知时显然不符合题意，
当只有一个整数点1符合题意时，
则有（1）（1）且（2）（2），解得，
若时，与相切，
设在处的切线方程为，又切线过点，
所以，解得，又，所以，
根据图形知此时只有一个整点时应满足下列条件，
（2）（2）且（3）（3），解得，
所以实数的取值范围为，，．
故答案为：，，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021秋•上月考）已知，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1），
，
．
（2），
，
由，可得，
，
．
18．（12分）（2021秋•上月考）函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记，．
（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解答】解：令，因为，所以，且．
函数的值域也就是函数的值域，
根据二次函数的图像特征可知，函数在上单调递增，
于是可求得．
函数有意义，需要，
即，
因为，
所以；
（1）若，则，是的既不充分也不必要条件；
（2）若是的充分不必要条件，则，
即，
解得，即的取值范围是．
19．（12分）（2021秋•莎车县校级期中）已知定义在上的函数满足，且当时，
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数满足，且当时，

（2）函数满足，
图象关于直线对称，且在上单调递增
故原不等式可化为，
即，得
（3）若关于的方程在上有解，
即在上有解
①在上有两等根，即，无解
②一根大于1，一根小于1，即，得到
③一根为1，则，解得另一根为，不符
综上所述，
20．（12分）（2021秋•上月考）已知函数，为常数）在内有两个极值点，．
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：．
【解答】（1）解：函数，
所以，
记，，
由题意可知，在上存在两个零点，
因为，
当时，，则在上单调递增，故至多只有一个零点，不合题意；
当时，令，可得，
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
当，且（2），，此时，
从而在和上各有一个零点，
所以在上存在两个零点；
若，即时，在上单调递减，至多只有一个零点，不合题意；
若，且（2），即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意．
综上所述，实数的取值范围为；
（2）证明：若函数在上存在两个零点，，，
即，则，
两式相减可得，
要证，
即证，
即证，
令，
即证明，
令，
则，
所以在区间上单调递增，
故（1），
即，
所以原不等式成立．
21．（12分）（2021秋•上月考）已知函数．
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数．
【解答】解：（1），，（1分）
当时，，所以单调递减．（2分）
又因为，，（3分）
所以，有，所以存在一个零点．（5分）
（2）当时，，，
所以单调递增，．（6分）
又，，（7分）
所以，有，
且有时，，单调递减；（8分）
时，，单调递增，
又因为，，
所以，有．
又当时，，，所以．（9分）
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又，，
所以存在，有，（10分）
当时，，，所以有，
当，有．．（11分）
所以，当时，函数有且仅有一个零点（12分）
22．（12分）（2021秋•上月考）已知函数．
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），得，（1分）
①若，则，在上单调递增；（2分）
②若，则，
此时，当时，；
时，；
所以在区间上单调递增，在上单调递减．．（4分）
（2）法一：不等式在，上恒成立，
相当于在，上恒成立．
令，
则．（5分）
①当时，因在，上恒有，因此是的极大值点．
所以此时有；（6分）
②当时，，此时，
可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，
有；（8分）
③当时，，知在，上单调递增，所以（e），
即，所以；（9分）
④当时，同理可知分别是函数的极大值点和极小值点，
因此，
有，
；．（11分）
综上可知，实数的取值范围是．（12分）
（2）法二：不等式变为：（5分）
①若，则；（6分）
②若，则，
令，则，（7分）
令，，则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，即（1），
所以，即，（8分）
所以（9分）
可知是的唯一极大值点，因而也是最大值点．
所以（1）；（10分）
③若，，此时，即在，上单调递减，
所以；（11分）
综上可知，实数的取值范围是．（12分）
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日期：2022/2/16 1:40:23；用户：张老师高数；邮箱：zhanggs@xyh.com；学号：32741197