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2022年广东省广州市高考数学一模试卷
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这是一份2022年广东省广州市高考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省广州市高考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（5分）若复数，则|z﹣i|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
3．（5分）甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
4．（5分）曲线y＝x3+1在点（﹣1，a）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3x﹣1 D．y＝﹣3x﹣3
5．（5分）（x+3y）（x﹣2y）6的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．60 B．24 C．﹣12 D．﹣48
6．（5分）若函数y＝f（x）的大致图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，则（ ）
A．直线l与圆C相离 B．直线l与圆C相交
C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
（多选）10．（5分）将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．若φ＝，则y＝f（x）是偶函数
B．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递减
C．若φ＝，则y＝f（x）的图像关于点对称
D．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递增
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则
（多选）12．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为φ（n），则（ ）
A． B．ln[φ（n）]+1＜0
C．φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n） D．n2φ（n）≤64φ（8）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知sinα＝，＜α＜π，则tanα＝ ．
14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 ．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于﹣2的位置”的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
3
第二行
4
6
5
第三行
9
12
8
（1）写出a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求cosA．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）求证：平面CDE⊥平面ACD；
（2）若，AC＝2，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．
20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：
月份
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．
（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知点F（1，0），直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
22．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣cosx，f'（x）为f（x）的导数．
（1）证明：当x≥0时，f'（x）≥2；
（2）设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，证明：g（x）有且仅有2个零点．
2022年广东省广州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】求出集合A，进而是求出A∩B，由此能求出A∩B的子集个数．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∩B＝{0，1}，
则A∩B的子集个数为22＝4．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）若复数，则|z﹣i|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【分析】根据复数的运算性质求出z，从而求出|z﹣i|的值即可．
【解答】解：＝＝1﹣i，
则|z﹣i|＝|1﹣i﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查复数求模，是基础题．
3．（5分）甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【分析】根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．
【解答】解：对于A，甲在5天中每天加工的零件的个数为18，19，23，27，28，
乙在5天中每天加工零件的个数为17，19，21，23，25，
对于A，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差为25﹣17＝8，故A错误，
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误，
对于C，甲加工零件的平均数为，
乙加工零件数的中位数为，故C正确，
对于D，甲加工零件数的方差为，
乙加工零件数的方程为，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．
4．（5分）曲线y＝x3+1在点（﹣1，a）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3x﹣1 D．y＝﹣3x﹣3
【分析】求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
【解答】解：y＝x3+1，可得y′＝3x2，f（﹣1）＝a＝0，f′（﹣1）＝3，
所以切线方程：y＝3（x+1），可得3x﹣y+3＝0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
5．（5分）（x+3y）（x﹣2y）6的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．60 B．24 C．﹣12 D．﹣48
【分析】利用展开式的通项公式求得x5y2的系数．
【解答】解：（x﹣2y）6的展开式中第r+1项为 Tr+1＝•（﹣2）r•x6﹣r•yr，
令6﹣r＝4，得r＝2；令6﹣r＝5，得r＝1．
∴（x+3y）（x﹣2y）6展开式中x5y2的系数为•（﹣2）2+3××（﹣2）1＝24．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
6．（5分）若函数y＝f（x）的大致图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论．
【解答】解：由已知图像可得f（x）为奇函数，
对于A，f（x）＝是偶函数，故A错误；
对于B，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B错误；
对于C，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，且x→+∞，y＝ex比y＝x2→0增加快，所以f（x）→0，故C错误；
对于D，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，且x→+∞，f（x）→+∞，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图像的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7．（5分）设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|＝4求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，
∴焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝﹣2，
如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|＝x2+2＝3，∴x2＝1，
把x2＝1代入抛物线y2＝8x，得，y2＝﹣2，
∴直线AB过点M（4，0）与（1，﹣2），
方程为2x﹣3y﹣8＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝16，
∴|AE|＝16+2＝18，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题．
8．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
【分析】根据题意得出a＞b＞1或0＜b＜a＜1，再依次分析选项中的命题是否成立即可．
【解答】解：根据题意，正实数a，b满足a＞b且lna•lnb＞0，则有a＞b＞1或0＜b＜a＜1，
依次分析选项：
对于A，无论a＞b＞1或0＜b＜a＜1，都有logab＞0，所以A错误；
对于B，a﹣﹣b+＝a﹣b+﹣＝a﹣b﹣（）＝（a﹣b），
当0＜b＜a＜1时，a﹣﹣b+＜0，即a﹣＜b﹣，所以B错误；
对于C，因为ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以ab+1＞a+b，
所以2ab+1＞2a+b，即选项C错误；
对于D，由ab﹣1＜ba﹣1，两边取自然对数，得（b﹣1）lna＜（a﹣1）lnb，
因为（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以＜，
设f（x）＝，x∈（0，1）∪（1，+∞），则f′（x）＝，
设g（x）＝1﹣﹣lnx，x∈（0，1）∪（1，+∞），则g′（x）＝﹣＝，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）＜g（1）＝0，所以f′（x）＜0，f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是单调减函数，
所以f（a）＜f（b），即选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，以及导数的综合应用问题，是难题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，则（ ）
A．直线l与圆C相离
B．直线l与圆C相交
C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，即圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，
∴圆心（1，﹣1）到直线l：x+y﹣＝0的距离d＝＜2，即直线l与圆相交，圆C上到直线l的距离为1的点共有3个．
故选：BD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．若φ＝，则y＝f（x）是偶函数
B．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递减
C．若φ＝，则y＝f（x）的图像关于点对称
D．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递增
【分析】利用三角函数的图象变换关系求出函数f（x）的解析式，利用三角函数的奇偶性对称性和单调性分别进行判断即可．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，
得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），
若φ＝，则y＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，则函数f（x）为偶函数，故A正确，
当x∈，则2x∈[0，π]，此时y＝cos2x为减函数，则f（x）＝﹣cos2x为增函数，故B错误，
若φ＝时，则y＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x，
当x＝时，f（）＝﹣sinπ＝﹣0＝0，则y＝f（x）的图像关于点对称，故C正确，
当x∈，则2x∈[0，π]，此时y＝sin2x不单调，则f（x）＝﹣sin2x不单调性，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则
【分析】根据长方体的性质找到直线AC1与直线CD所成角的平面角，判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；将长方体补为以4为棱长的正方体，求线面角和二面角，判断CD．
【解答】解：对于A，如图，直线AC1与直线CD所成角，即为直线AC1与直线AB所成角为∠BAC1，
则tanφ＝tan∠BAC1＝＝，故A正确；
对于B，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
过A的l与长方体所有棱所成的角都相等，与面BCC1B1交于M（x，2，z），且x，z＞0，
＝（0，0，3），＝（0，2，0），＝（4，0，0），
则cos＜＞＝＝＝cos＜＞＝＝＝cos＜＞＝＝，
∴x＝z＝2，∴AM＝2，故B错误；
对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成角都为θ，
则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，
∴sinθ＝，故C正确；
对于D，如图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，
只需面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面EDF，
∴cosμ＝＝，∴sinμ＝，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）12．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为φ（n），则（ ）
A． B．ln[φ（n）]+1＜0
C．φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n） D．n2φ（n）≤64φ（8）
【分析】分析发现得到φ（n）是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可．
【解答】解：由题可得φ（1）＝，φ（2）＝2××，φ（3）＝2²×××，φ（4）＝2³××××，
由此可知φ（n）＝2n﹣1×＝•，即为一个等比数列，
对A：＝＝，故A错误；
对B：ln[φ（n）]+1＝ln[•]+1＝nln﹣ln2+1＜0，因为ln＜0，故该数列为递减数列，
又因为n＝1时，ln[φ（1）]+1＝ln﹣ln2+1＝﹣ln3+1＜0，故B正确；
对C：要证φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n），即证•+•＞2ו，整理可得1+＞2•，
当n＝1时，1+＝＞2×，符合条件；
当n≥2时，1＞2•恒成立，所以1+＞2•恒成立，故C正确；
对D：令k（n）＝n2φ（n），则k（n+1）﹣k（n）＝（n+1）2φ（n+1）﹣n2φ（n）＝（n+1）²••﹣n²••，
整理可得k（n+1）﹣k（n）＝•（﹣n²+4n+2），
令﹣n²+4n+2＝0解得n＝2+或n＝2﹣（舍），因为n∈N*，所以4＜n＜5，
由此可知n≤4时k（n+1）﹣k（n）＞0；n≥5时，k（n+1）﹣k（n）＜0，
故k（5）为最大值，k（8）＝8²φ（8）＝64φ（8），
根据单调性，k（5）＞k（8），故n2φ（n）≤64φ（8）不成立，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知sinα＝，＜α＜π，则tanα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为sinα＝，＜α＜π，
所以cosα＝﹣＝﹣，
则tanα＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），D（2，0），C（1，），D（﹣1，）
当点P在BC上时，设P（x，），x∈[﹣1，1]，＝（2，0），＝（x，），
则＝2x∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
【分析】将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可．
【解答】解：将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，
如下图所示，
若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，
即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又OA＝，OP＝，
所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为π，
面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
综上所述，最长弧的弧长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于﹣2的位置”的概率为 ．
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：质点移动6次，可能结果共有2×2×2×2×2×2＝64种，
质若点位于﹣2的位置，则质点需要向左移动4次，然后向右移动2次，
则有＝15种，
则对应的概率P＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
3
第二行
4
6
5
第三行
9
12
8
（1）写出a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到a1＝2，a2＝4，a3＝8，进而求得通项公式；
（2）由 （1）知，利用分组求和，含有（﹣1）n需讨论n为偶数与奇数，然后按照等差数列求和．
【解答】解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到 a1＝2，a2＝4，a3＝8，
即数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故．
（2）因为，
当n为偶数时，＝，
当n为奇数时，＝，
综上所述，．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求cosA．
【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论．
（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求sinB，即可求cosB，注意根据B的范围判断符号，最后利用cosA＝﹣cos（B+C）及和角余弦公式求值即可．
【解答】（1）证明：由题设，，
又sinC≠0，
所以，
由正弦定理可得sinAsinB＝sin2A﹣2sin2B，
所以sinB（sinA+sinB）＝sin2A﹣sin2B＝（sinA+sinB）（sinA﹣sinB），
又sinA+sinB≠0，
所以sinB＝sinA﹣sinB，
即sinA＝2sinB．
解：（2）由（1）及题设，，且sinB＞0，
所以，
则，故，
又，
可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以．
【点评】本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）求证：平面CDE⊥平面ACD；
（2）若，AC＝2，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．
【分析】（1）若O是AC中点，连接OB，作Oz∥AD，根据题设可得Oz，OB，AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令AD＝2BE＝2a，OB＝c，OA＝OC＝b并确定点坐标，求面CDE、面ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论．
（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出AD，BE，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值．
【解答】证明：（1）若O是AC中点，连接OB，作Oz∥AD，由AB＝BC知：OB⊥AC，
因为AD⊥面ABC，则Oz⊥面ABC，又OB，AC⊂面ABC，
所以Oz⊥OB，Oz⊥AC，
综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系O﹣xyz，
令AD＝2BE＝2a，OB＝c，OA＝OC＝b，则 D（0，﹣b，2a），C（0，b，0），E（c，0，a），
所以，
若＝（x，y，z） 是面CDE的一个法向量，即，令z＝b，则＝（0，a，b），
又 是面ACD的一个法向量，则，
所以面CDE⊥面ACD．
解：（2）由AD⊥面ABC，AD⊂面ABED，则面ABED⊥面ABC，故C到面 ABED的距离，即为△ABC中AB上的高，
因为，则，故，
所以AB上的高．
又AB⊂面ABC，则AD⊥AB，而AD∥BE，有BE⊥AB，AD＝2BE，
所以ABED为直角梯形，令AD＝2BE＝2a，则，
综上，，故a＝1．
由 （1）知：，
所以 ，
若是面ABED的一个法向量，即，令m＝﹣1，则，
而 ，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为．
【点评】本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：
月份
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．
（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
（2）由（1）可知，y＝0.2x2+5，＝24﹣＝，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）令w＝x2，
则＝，＝，
＝＝，＝7.2﹣0.2×11＝5，
故y关于x的回归方程为y＝0.2x2+5．
（2）由（1）可知，y＝0.2x2+5，
＝24﹣＝，
令g（x）＝，
则g'（x）＝＝＝（x＞0），
令g'（x）＞0，解得0＜x＜9，令g'（x）＜0，解得x＞9，令g'（x）＝0，解得x＝9，
故g（x）在x＝9处取得极大值，也为最大值，
故g（x）max＝g（9）＝72﹣27﹣9＝36，
故第9个月的月利润预报值最大．
【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知点F（1，0），直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意x≠±2．
（2）设N（4，n）、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求M坐标，进而应用n表示tan∠MFD、tan∠NFD，结合二倍角正切公式判断tan∠MFD与tan∠NFD的数量关系，即可得解．
【解答】解：（1）设M（x，y），则且x≠±2，
所以M的轨迹为曲线C方程为且x≠±2．
（2）设N（4，n），则直线AM为，
联立曲线C得：，整理得：（n2+27）x2+4n2x+4n2﹣108＝0，
由题设知：，则，
故，
又，，
所以，即∠MFD＝2∠NFD，
很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件．
所以存在λ＝2，使∠MFD＝2∠NFD．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣cosx，f'（x）为f（x）的导数．
（1）证明：当x≥0时，f'（x）≥2；
（2）设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，证明：g（x）有且仅有2个零点．
【分析】（1）令h（x）＝ex+cosx+sinx，利用导数判断h（ x）的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（l）可知，g（x）在[0，+∞）上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点．
【解答】证明：（1）由f（x）＝ex+sinx﹣cosx，得f'（x）＝ex+cosx+sinx，
设h（x）＝ex+cosx+sinx，则h′（x）＝ex﹣sinx+cosx，
当x≥0时，设p（x）＝ex﹣x﹣l，q（x）＝x﹣sinx，
因为p′（x）＝ex﹣1≥0，q′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以p（x）和q（x）在[0，+∞）上单调递增，
p（x）≥p（0）＝0，q（x）≥q（0）＝0，
所以当x≥0时，ex≥x+1，x≥sinx，
则h′（x）＝ex﹣sinx+cosx≥x+1﹣sinx+cosx＝（x﹣sinx）+（1+cosx）≥0，
所以h（x）＝ex+cosx+sinx在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝2，即当x≥0吋，f′（x）≥2．
（2）由已知得g（x）＝ex+sinx﹣cosx﹣2x﹣1，
①当x≥0时，因为g′（x）＝ex+cosx+sinx﹣2＝f′（x）﹣2≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又因为g（0）＝﹣1＜0，g（π）＝eπ﹣2π＞0，
所以由零点存在性定理可知g（x）在[0，+∞）上仅有一个零点，
②当x＜0时，设m（x）＝（x＜0），则m′（x）＝≤0，
所以m（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
所以m（x）＞m（0）＝1，所以ex+cosx+sinx﹣2＜0，
所以g′（x）＝ex+cosx+sin﹣2＜0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又因为g（0）＝﹣1＜0，g（﹣π）＝e﹣π+2π＞0，
所以由零点存在性定理可知g（x）在（﹣∞，0）上仅有一个零点，
综上所述，g（x）有且仅有2个零点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明以及函数零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题．
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2022年广东省广州市高考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（5分）若复数，则|z﹣i|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
3．（5分）甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
4．（5分）曲线y＝x3+1在点（﹣1，a）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3x﹣1 D．y＝﹣3x﹣3
5．（5分）（x+3y）（x﹣2y）6的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．60 B．24 C．﹣12 D．﹣48
6．（5分）若函数y＝f（x）的大致图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，则（ ）
A．直线l与圆C相离 B．直线l与圆C相交
C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
（多选）10．（5分）将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．若φ＝，则y＝f（x）是偶函数
B．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递减
C．若φ＝，则y＝f（x）的图像关于点对称
D．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递增
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则
（多选）12．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为φ（n），则（ ）
A． B．ln[φ（n）]+1＜0
C．φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n） D．n2φ（n）≤64φ（8）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知sinα＝，＜α＜π，则tanα＝ ．
14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 ．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于﹣2的位置”的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
3
第二行
4
6
5
第三行
9
12
8
（1）写出a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求cosA．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）求证：平面CDE⊥平面ACD；
（2）若，AC＝2，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．
20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：
月份
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．
（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知点F（1，0），直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
22．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣cosx，f'（x）为f（x）的导数．
（1）证明：当x≥0时，f'（x）≥2；
（2）设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，证明：g（x）有且仅有2个零点．
2022年广东省广州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】求出集合A，进而是求出A∩B，由此能求出A∩B的子集个数．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∩B＝{0，1}，
则A∩B的子集个数为22＝4．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）若复数，则|z﹣i|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【分析】根据复数的运算性质求出z，从而求出|z﹣i|的值即可．
【解答】解：＝＝1﹣i，
则|z﹣i|＝|1﹣i﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查复数求模，是基础题．
3．（5分）甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【分析】根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．
【解答】解：对于A，甲在5天中每天加工的零件的个数为18，19，23，27，28，
乙在5天中每天加工零件的个数为17，19，21，23，25，
对于A，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差为25﹣17＝8，故A错误，
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误，
对于C，甲加工零件的平均数为，
乙加工零件数的中位数为，故C正确，
对于D，甲加工零件数的方差为，
乙加工零件数的方程为，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．
4．（5分）曲线y＝x3+1在点（﹣1，a）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3x﹣1 D．y＝﹣3x﹣3
【分析】求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
【解答】解：y＝x3+1，可得y′＝3x2，f（﹣1）＝a＝0，f′（﹣1）＝3，
所以切线方程：y＝3（x+1），可得3x﹣y+3＝0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
5．（5分）（x+3y）（x﹣2y）6的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．60 B．24 C．﹣12 D．﹣48
【分析】利用展开式的通项公式求得x5y2的系数．
【解答】解：（x﹣2y）6的展开式中第r+1项为 Tr+1＝•（﹣2）r•x6﹣r•yr，
令6﹣r＝4，得r＝2；令6﹣r＝5，得r＝1．
∴（x+3y）（x﹣2y）6展开式中x5y2的系数为•（﹣2）2+3××（﹣2）1＝24．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
6．（5分）若函数y＝f（x）的大致图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论．
【解答】解：由已知图像可得f（x）为奇函数，
对于A，f（x）＝是偶函数，故A错误；
对于B，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B错误；
对于C，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，且x→+∞，y＝ex比y＝x2→0增加快，所以f（x）→0，故C错误；
对于D，f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，且x→+∞，f（x）→+∞，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图像的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7．（5分）设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|＝4求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，
∴焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝﹣2，
如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|＝x2+2＝3，∴x2＝1，
把x2＝1代入抛物线y2＝8x，得，y2＝﹣2，
∴直线AB过点M（4，0）与（1，﹣2），
方程为2x﹣3y﹣8＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝16，
∴|AE|＝16+2＝18，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题．
8．（5分）若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
【分析】根据题意得出a＞b＞1或0＜b＜a＜1，再依次分析选项中的命题是否成立即可．
【解答】解：根据题意，正实数a，b满足a＞b且lna•lnb＞0，则有a＞b＞1或0＜b＜a＜1，
依次分析选项：
对于A，无论a＞b＞1或0＜b＜a＜1，都有logab＞0，所以A错误；
对于B，a﹣﹣b+＝a﹣b+﹣＝a﹣b﹣（）＝（a﹣b），
当0＜b＜a＜1时，a﹣﹣b+＜0，即a﹣＜b﹣，所以B错误；
对于C，因为ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以ab+1＞a+b，
所以2ab+1＞2a+b，即选项C错误；
对于D，由ab﹣1＜ba﹣1，两边取自然对数，得（b﹣1）lna＜（a﹣1）lnb，
因为（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以＜，
设f（x）＝，x∈（0，1）∪（1，+∞），则f′（x）＝，
设g（x）＝1﹣﹣lnx，x∈（0，1）∪（1，+∞），则g′（x）＝﹣＝，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）＜g（1）＝0，所以f′（x）＜0，f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是单调减函数，
所以f（a）＜f（b），即选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，以及导数的综合应用问题，是难题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，则（ ）
A．直线l与圆C相离
B．直线l与圆C相交
C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，即圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，
∴圆心（1，﹣1）到直线l：x+y﹣＝0的距离d＝＜2，即直线l与圆相交，圆C上到直线l的距离为1的点共有3个．
故选：BD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．若φ＝，则y＝f（x）是偶函数
B．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递减
C．若φ＝，则y＝f（x）的图像关于点对称
D．若φ＝，则y＝f（x）在区间上单调递增
【分析】利用三角函数的图象变换关系求出函数f（x）的解析式，利用三角函数的奇偶性对称性和单调性分别进行判断即可．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝f（x）的图像，
得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），
若φ＝，则y＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，则函数f（x）为偶函数，故A正确，
当x∈，则2x∈[0，π]，此时y＝cos2x为减函数，则f（x）＝﹣cos2x为增函数，故B错误，
若φ＝时，则y＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x，
当x＝时，f（）＝﹣sinπ＝﹣0＝0，则y＝f（x）的图像关于点对称，故C正确，
当x∈，则2x∈[0，π]，此时y＝sin2x不单调，则f（x）＝﹣sin2x不单调性，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则
【分析】根据长方体的性质找到直线AC1与直线CD所成角的平面角，判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；将长方体补为以4为棱长的正方体，求线面角和二面角，判断CD．
【解答】解：对于A，如图，直线AC1与直线CD所成角，即为直线AC1与直线AB所成角为∠BAC1，
则tanφ＝tan∠BAC1＝＝，故A正确；
对于B，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
过A的l与长方体所有棱所成的角都相等，与面BCC1B1交于M（x，2，z），且x，z＞0，
＝（0，0，3），＝（0，2，0），＝（4，0，0），
则cos＜＞＝＝＝cos＜＞＝＝＝cos＜＞＝＝，
∴x＝z＝2，∴AM＝2，故B错误；
对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成角都为θ，
则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，
∴sinθ＝，故C正确；
对于D，如图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，
只需面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面EDF，
∴cosμ＝＝，∴sinμ＝，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）12．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为φ（n），则（ ）
A． B．ln[φ（n）]+1＜0
C．φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n） D．n2φ（n）≤64φ（8）
【分析】分析发现得到φ（n）是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可．
【解答】解：由题可得φ（1）＝，φ（2）＝2××，φ（3）＝2²×××，φ（4）＝2³××××，
由此可知φ（n）＝2n﹣1×＝•，即为一个等比数列，
对A：＝＝，故A错误；
对B：ln[φ（n）]+1＝ln[•]+1＝nln﹣ln2+1＜0，因为ln＜0，故该数列为递减数列，
又因为n＝1时，ln[φ（1）]+1＝ln﹣ln2+1＝﹣ln3+1＜0，故B正确；
对C：要证φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n），即证•+•＞2ו，整理可得1+＞2•，
当n＝1时，1+＝＞2×，符合条件；
当n≥2时，1＞2•恒成立，所以1+＞2•恒成立，故C正确；
对D：令k（n）＝n2φ（n），则k（n+1）﹣k（n）＝（n+1）2φ（n+1）﹣n2φ（n）＝（n+1）²••﹣n²••，
整理可得k（n+1）﹣k（n）＝•（﹣n²+4n+2），
令﹣n²+4n+2＝0解得n＝2+或n＝2﹣（舍），因为n∈N*，所以4＜n＜5，
由此可知n≤4时k（n+1）﹣k（n）＞0；n≥5时，k（n+1）﹣k（n）＜0，
故k（5）为最大值，k（8）＝8²φ（8）＝64φ（8），
根据单调性，k（5）＞k（8），故n2φ（n）≤64φ（8）不成立，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知sinα＝，＜α＜π，则tanα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为sinα＝，＜α＜π，
所以cosα＝﹣＝﹣，
则tanα＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），D（2，0），C（1，），D（﹣1，）
当点P在BC上时，设P（x，），x∈[﹣1，1]，＝（2，0），＝（x，），
则＝2x∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
【分析】将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可．
【解答】解：将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，
如下图所示，
若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，
即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又OA＝，OP＝，
所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为π，
面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
综上所述，最长弧的弧长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于﹣2的位置”的概率为 ．
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：质点移动6次，可能结果共有2×2×2×2×2×2＝64种，
质若点位于﹣2的位置，则质点需要向左移动4次，然后向右移动2次，
则有＝15种，
则对应的概率P＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
3
第二行
4
6
5
第三行
9
12
8
（1）写出a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到a1＝2，a2＝4，a3＝8，进而求得通项公式；
（2）由 （1）知，利用分组求和，含有（﹣1）n需讨论n为偶数与奇数，然后按照等差数列求和．
【解答】解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到 a1＝2，a2＝4，a3＝8，
即数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故．
（2）因为，
当n为偶数时，＝，
当n为奇数时，＝，
综上所述，．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求cosA．
【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论．
（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求sinB，即可求cosB，注意根据B的范围判断符号，最后利用cosA＝﹣cos（B+C）及和角余弦公式求值即可．
【解答】（1）证明：由题设，，
又sinC≠0，
所以，
由正弦定理可得sinAsinB＝sin2A﹣2sin2B，
所以sinB（sinA+sinB）＝sin2A﹣sin2B＝（sinA+sinB）（sinA﹣sinB），
又sinA+sinB≠0，
所以sinB＝sinA﹣sinB，
即sinA＝2sinB．
解：（2）由（1）及题设，，且sinB＞0，
所以，
则，故，
又，
可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以．
【点评】本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）求证：平面CDE⊥平面ACD；
（2）若，AC＝2，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．
【分析】（1）若O是AC中点，连接OB，作Oz∥AD，根据题设可得Oz，OB，AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令AD＝2BE＝2a，OB＝c，OA＝OC＝b并确定点坐标，求面CDE、面ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论．
（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出AD，BE，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值．
【解答】证明：（1）若O是AC中点，连接OB，作Oz∥AD，由AB＝BC知：OB⊥AC，
因为AD⊥面ABC，则Oz⊥面ABC，又OB，AC⊂面ABC，
所以Oz⊥OB，Oz⊥AC，
综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系O﹣xyz，
令AD＝2BE＝2a，OB＝c，OA＝OC＝b，则 D（0，﹣b，2a），C（0，b，0），E（c，0，a），
所以，
若＝（x，y，z） 是面CDE的一个法向量，即，令z＝b，则＝（0，a，b），
又 是面ACD的一个法向量，则，
所以面CDE⊥面ACD．
解：（2）由AD⊥面ABC，AD⊂面ABED，则面ABED⊥面ABC，故C到面 ABED的距离，即为△ABC中AB上的高，
因为，则，故，
所以AB上的高．
又AB⊂面ABC，则AD⊥AB，而AD∥BE，有BE⊥AB，AD＝2BE，
所以ABED为直角梯形，令AD＝2BE＝2a，则，
综上，，故a＝1．
由 （1）知：，
所以 ，
若是面ABED的一个法向量，即，令m＝﹣1，则，
而 ，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为．
【点评】本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：
月份
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．
（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
（2）由（1）可知，y＝0.2x2+5，＝24﹣＝，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）令w＝x2，
则＝，＝，
＝＝，＝7.2﹣0.2×11＝5，
故y关于x的回归方程为y＝0.2x2+5．
（2）由（1）可知，y＝0.2x2+5，
＝24﹣＝，
令g（x）＝，
则g'（x）＝＝＝（x＞0），
令g'（x）＞0，解得0＜x＜9，令g'（x）＜0，解得x＞9，令g'（x）＝0，解得x＝9，
故g（x）在x＝9处取得极大值，也为最大值，
故g（x）max＝g（9）＝72﹣27﹣9＝36，
故第9个月的月利润预报值最大．
【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知点F（1，0），直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意x≠±2．
（2）设N（4，n）、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求M坐标，进而应用n表示tan∠MFD、tan∠NFD，结合二倍角正切公式判断tan∠MFD与tan∠NFD的数量关系，即可得解．
【解答】解：（1）设M（x，y），则且x≠±2，
所以M的轨迹为曲线C方程为且x≠±2．
（2）设N（4，n），则直线AM为，
联立曲线C得：，整理得：（n2+27）x2+4n2x+4n2﹣108＝0，
由题设知：，则，
故，
又，，
所以，即∠MFD＝2∠NFD，
很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件．
所以存在λ＝2，使∠MFD＝2∠NFD．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣cosx，f'（x）为f（x）的导数．
（1）证明：当x≥0时，f'（x）≥2；
（2）设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，证明：g（x）有且仅有2个零点．
【分析】（1）令h（x）＝ex+cosx+sinx，利用导数判断h（ x）的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（l）可知，g（x）在[0，+∞）上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点．
【解答】证明：（1）由f（x）＝ex+sinx﹣cosx，得f'（x）＝ex+cosx+sinx，
设h（x）＝ex+cosx+sinx，则h′（x）＝ex﹣sinx+cosx，
当x≥0时，设p（x）＝ex﹣x﹣l，q（x）＝x﹣sinx，
因为p′（x）＝ex﹣1≥0，q′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以p（x）和q（x）在[0，+∞）上单调递增，
p（x）≥p（0）＝0，q（x）≥q（0）＝0，
所以当x≥0时，ex≥x+1，x≥sinx，
则h′（x）＝ex﹣sinx+cosx≥x+1﹣sinx+cosx＝（x﹣sinx）+（1+cosx）≥0，
所以h（x）＝ex+cosx+sinx在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝2，即当x≥0吋，f′（x）≥2．
（2）由已知得g（x）＝ex+sinx﹣cosx﹣2x﹣1，
①当x≥0时，因为g′（x）＝ex+cosx+sinx﹣2＝f′（x）﹣2≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又因为g（0）＝﹣1＜0，g（π）＝eπ﹣2π＞0，
所以由零点存在性定理可知g（x）在[0，+∞）上仅有一个零点，
②当x＜0时，设m（x）＝（x＜0），则m′（x）＝≤0，
所以m（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
所以m（x）＞m（0）＝1，所以ex+cosx+sinx﹣2＜0，
所以g′（x）＝ex+cosx+sin﹣2＜0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又因为g（0）＝﹣1＜0，g（﹣π）＝e﹣π+2π＞0，
所以由零点存在性定理可知g（x）在（﹣∞，0）上仅有一个零点，
综上所述，g（x）有且仅有2个零点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明以及函数零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题．
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