北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形单元检测（2）（含答案）

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北师大版数学九年级上册 第一章特殊平行四边形单元检测 （2）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）

A．当时，四边形ABCD是矩形
B．当时，四边形ABCD是菱形
C．当时，四边形ABCD是菱形
D．当时，四边形ABCD是正方形
2．如图，在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是（　　）

A． B． C． D．
3．如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则长为（       ）


A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（     ）

A． B． C． D．
5．如图，在ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）

A．125° B．145° C．175° D．190°
6．如图，在长方形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为（       ）

A．2或15 B．2或18 C．3或15 D．3成18
7．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（　　）

A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．一直不变 D．不确定
8．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．

10．如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则的周长是________．

11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．

12．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______．

13．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为______．

三、解答题
14．如图，在菱形中，点E，F分别在，上，连接，，且．求证：．

15．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°．

(1)求对角线AC，BD的长；
(2)求菱形的面积．
16．图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
求证：DE＝DF．

17．如图是赵大爷家的一块矩形土地，矩形内有一点E，请你过点E作一条直线，把矩形面积平分．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在矩形 ABCD中,点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

19．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC的延长线上，点F在边CD的延长线上，且，连接AE和BF相交于点M．
求证：．

20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

21．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
(1)求证：△APD≌△BQC；
(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．

22．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．

23．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.
(1)求证：四边形ADBE是平行四边形；
(2)若AB＝4，OB＝，求四边形ADBE的周长．

24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
25．明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°，AB＝CD，AD＝2，BC＝4，求四边形ABCD的面积．


(1)经过思考小明想到如下方法：
以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，则四边形ADEF是________．（填一种特殊的平行四边形）
∴S四边形ABCD＝________．
(2)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠CDA＝160°，AB＝CD，AD＝6，BC＝12，则四边形ABCD的面积为多少？
26．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA，OP．
（1）如图1所示，求证：AP＝OA；
（2）如图2所示，PQ在BC的延长线上，如图3所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP，OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．


参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当时，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故A选项正确；
当时，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故B选项正确；
当时，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故C选项正确
当时，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解题关键．
2．D
【解析】
【分析】
结合菱形的判定性质，对选项逐一筛选
【详解】
四边形中，对角线，互相平分
四边形是平行四边形
A. ，可以判断平行四边形是矩形，不符合题意；
B. ,不能判断是菱形，不符合题意；
C. 可以判断平行四边形是矩形，不符合题意；
D. 可以判定平行四边形是菱形；符合题意
故选D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，熟悉菱形的判定定理是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
延长AB,DC交于点F，然后利用矩形的性质和勾股定理计算即可．
【详解】
解：延长AB,DC交于点F


∵四边形AFDE是矩形
∴



故选：A
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
【详解】
解：如图，连接DF，

∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，也考查了等边三角形的判定与性质．
6．B
【解析】
【分析】
先根据长方形的性质、对称性可得，再根据勾股定理可得，然后证出点共线，最后分当点在线段上时和当点在的延长线时两种情况，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
解：如图，连接，
四边形是长方形，
，
与关于直线对称，
，
是直角三角形，
，
，
点共线，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当点在线段上时，

设，则，
在中，，即，
解得；
（2）如图，当点在的延长线时，

设，则，
在中，，即，
解得；
综上，的长为2或18，
故选：B．
【点睛】
本题考查了长方形的性质、勾股定理、轴对称，正确分两种情况讨论是解题关键．
7．C
【解析】
【分析】
连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．
【详解】
解：连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC = 90°，，
∴∠BOЕ+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+ ∠FOB = 90°，
∴∠FOB = ∠EOC，
在△FOB和△EOC，
，
∴△FOB≌△EOC，
同理，△HOD≌△GOC，
∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．
∴阴影部分面积的大小一直不变．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
过点D作于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【详解】
解：如图，过点D作于点E，
连接BD，

菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时DE最短，即
最小，
菱形的边长为6，
，
，
的最小值是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
9．3
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
10．15
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠A=60°，AB=5，即可证得是等边三角形．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠A=60°，AB=5，
∴是等边三角形，
∴AB=AD=BD=5，
∴的周长是：．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形周长，解题的关键是证明是等边三角形．
11．2.5##
【解析】
【分析】
根据∠EDC：∠EDA=1： 2，可得∠EDC=30°， ∠EDA=60°，进而得出DC=AC，进而求得CE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°， AC= BD= 10，OA= OC=AC = 5，ОВ=OD=BD=5，
∴OС = OD，
∴∠ODC = ∠OCD ，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC = 30°，∠EDA= 60°，
∵DE⊥ AC，
∴∠DEC= 90°，
∴∠DAC= 30°，
∴DC=AC= 5，
∴EC =DC= 2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键．
12．
【解析】
【分析】
先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解．
【详解】
解：，
．
∴∠BEA=∠AFD，
又∵∠AFD＋∠EAG=90°，
∴∠BEA＋∠EAG=90°，
∴∠BGF=90°．
H为BF的中点，又为直角三角形，
．
∵DF=2，
∴CF=5-2=3．
∵为直角三角形．
∴BF===．
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半．
13．16−4π
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为2，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
【详解】
解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
而正方形ABCD的面积为4×4=16,4个扇形的面积为=4π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为16−4π.
故答案为：16−4π.
14．证明见解析
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得，，，再根据ASA证明得，进一步可得结论．
【详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
15．(1)BD＝10cm，AC＝cm
(2)菱形的面积为cm2
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长；
（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
(1)
解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10cm．
由菱形的性质知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，
∴BO＝BD＝5cm，
在Rt△AOB中，AO＝＝cm，
∴AC＝2AO＝（cm）．
(2)
解：菱形的面积为×10×＝（cm2）．
【点睛】
本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，还考查了勾股定理的应用．
16．见解析
【解析】
【分析】
连接BD，由四边形ABCD是菱形，则可得∠CBD=∠ABD，再由DE⊥AB，DF⊥BC，根据角平分线的性质，即可证得DE=DF．
【详解】
证明：连接BD，


∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
【点睛】
此题考查了菱形的性质与角平分线的性质，解题的关键是做出辅助线，根据角平分线的性质得出结论．
17．见解析
【解析】
【分析】
作矩形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，作直线EO，直线OE即为所求．
【详解】
解：如图所示即为所求．


【点睛】
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
18．添加条件：或或或或或或或等.若选择.证明见解析.
【解析】
【分析】
由矩形的性质知，，，再结合全等三角形的判定方法添加即可.
【详解】
添加条件：或或或或或或或等.
若选择.
证明：在矩形ABCD中，，，
，



【点睛】
本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分.也考查了全等三角形的判定与性质.
19．证明见解析．
【解析】
【分析】
利用正方形的性质和可以证明，即可证明．
【详解】
证明：∵ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
【详解】
证明：，，
四边形OCED是平行四边形，
矩形ABCD，
，，，
，
平行四边形OCED是菱形；
在矩形ABCD中，，，，
，
，
连接OE，交CD于点F，

四边形OCED为菱形，
为CD中点，
为BD中点，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
21．证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ；
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD=PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC，
∵∠∠APD+∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP是菱形．
【点睛】
考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
22．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE=5，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
在Rt△EAF中，由勾股定理得：
∴EF＝AE＝5．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练运用正方形的性质、全等三角形的判定是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）依据矩形的性质可知AD∥BE，AD=BC，结合条件BE=CB可得到AD=BE，然后依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）依据矩形的性质可得到AC=BD=2OB=4，由ADBE为平行四边形可知AE=5，在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得BE的长，最后依据平行四边形ADBE的周长=2×（BE+AE）求解即可．
【详解】
解：（1）∵ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC．
又∵BC=BE，
∴BE=AD．
∵AD∥BE，
∴四边形ADBE为平行四边形．
（2）∵ABCD为矩形，OB=，
∴AC=BD=5，∠ABE=90°
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD=5．
在Rt△ABE中，依据勾股定理可知：BE==3．
∴平行四边形ADBE的周长=2×（BE+AE）=2×（5+3）=16．
24．(1)见解析
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB = CD，AB∥CD，OB= OD，OA= OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，中点证出BE= DF，证明△ABE≌△CDF即可；
（2） 证出AB = OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG = 90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由全等可以推出EG=CF，又因为∠OEG＝90°，得出四边形EGCF是矩形，即可得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
(2)
解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA=OC=CD．
∵点E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∵OC=CD，F是OD的中点，
∴CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形．
又∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、全等三角形的判定、平行线的性质．
25．(1)正方形，3
(2)S四边形ABCD＝
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得，证明四边形ADEF是菱形，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，根据旋转的性质得到，，可得出，则，根据正方形的判定条件得到ADEF是正方形，根据求解即可；
（2）以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，则AD＝AE＝ED，根据S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE）计算即可；
(1)
如图，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，


∵以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，
∴，，，
∴四边形ADEF是菱形，，
∴，
∴菱形ADEF是正方形，
∴；
故答案是：正方形；3；
(2)
解：如图，以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，
则AD＝AE＝ED，
∴△ADE是等边三角形，
∴S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE），
∵AD＝6，BC＝12，∴易得△BCM和△ADE的高分别为6和3．
∴S△BCM＝×12×6＝36，
S△ADE＝×6×3＝9．
∴S四边形ABCD＝×（36－9）
＝9．


【点睛】
本题主要考查了正方形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，准确计算是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）AP＝OA
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据QO⊥BD可得∠BQO＝∠CBD＝45°，即可证明OB=OQ，利用SAS可证明△ABO≌△PQO，即可得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，根据∠BOP＋∠POQ＝90°可得∠AOP=90°，可证明△AOP是等腰直角三角形，即可得AP=OA；
（2）同（1）方法可得△AOP是等腰直角三角形，进而可得AP=OA．
【详解】
AP＝OA
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ.
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO(SAS)，
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP＋∠POQ＝90°，
∴∠BOP＋∠AOB＝90，即∠AOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA．
(2)如图2，当PQ在BC的延长线上时，
同（1）可知△ABO≌△PQO，
∴OA=OP，∠AOB=∠QOP，
∴∠AOP+∠BOP=∠QOP+∠BOP=∠BOQ=90°，即∠AOP=90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP=OA，
如图3，同理可得△AOP是等腰直角三角形，
∴AP=OA．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题关键．