2022届甘肃省武威第一中学高三上学期开学考试数学（文）试题含解析

2022届甘肃省武威第一中学高三上学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求交集，再求补集，即得答案.

【详解】因为，，所以，

又全集，所以.

故选：C

2．复数的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的乘方与除法可化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】因为，所以的共轭复数为.

故选：A.

3．已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（       ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

【答案】B

【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据计算可得；

【详解】解：因为，，，所以，即，所以

所以，因为，所以

故选：B

4．2021年某省实施新的“”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解总的选课方案，然后求解理科的选课方案，可得概率.

【详解】由题意总的选课方案有：（物理，化学，生物），（物理，化学，地理），（物理，化学，政治），

（物理，生物，地理），（物理，生物，政治），（物理，地理，政治），（历史，化学，生物），（历史，化学，地理），（历史，化学，政治），（历史，生物，地理），（历史，生物，政治），（历史，地理，政治），共12种；

而全理科只有1种，

所以某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率为.

故选：D.

5．偶函数的定义域为，当时，是增函数，则、、的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，比较、、的大小关系，即可得出结论.

【详解】因为函数是偶函数且在上为增函数，故函数在上为减函数，

所以，，

故选：D．

6．在新冠肺炎疫情期间某小区对在外务工，春节返乡人员进行排查，现有甲、乙、丙、丁四名返乡人员，其中只有一个人去过高风险地区.甲说：“乙或丙去过高风险地区，”乙说：“甲和丙都没去过高风险地区.”丙说：“我去过高风险地区.”丁说：“乙去过高风险地区，”这四个人的话只有两句是对的，则去过高风险地区的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】分别假设甲、乙、丙、丁去过高风险地区，逐一分析四个人的话的对错即可.

【详解】假设甲去过高风险地区，则四人说的都是假话，与题意不符；假设乙去过高风险地区，则甲、乙、丁说的都是真话，与题意不符；假设丙去过高风险地区，则甲、丙说的是真话，乙、丁说的是假话，符合题意；假设丁去过高风险地区，则甲、丙、丁说的都是假话，与题意不符.

故选：C.

7．函数的单调递减区间为（       ）

A． B．，

C． D．，

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简求得函数，根据所给区间求得整体范围，结合正弦函数的单调性求得结论.

【详解】，因为，所以，

故当或，即或时，单调递减.

故选：D.

8．经过点且与直线：相切于点的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径即可求解.

【详解】设圆心坐标为，

则圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径，

即：，

解得，，，∴圆的方程为

故选：A.

9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，，则；②若，，则；③若，是异面直线，则存在，，使，，且；④若，不垂直，则不存在，使．

其中正确的命题有．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】①，②，③借助长方体可直接判断对错，④通过反证法假设结论存在，通过面面垂直的判定得出与已知矛盾，即可判断出④正确.

【详解】①由图可知符合：，，，

但，为异面直线，不平行，故①错误.

②由图知符合：，，

但，故②错误.

③根据条件：，是异面直线，则存在，，使，，可画出，

如图所示：，即存在，故③正确.

④假设：， ，由平面与平面垂直的判定可得：，与已知矛盾，

故，不垂直，则不存在，使，④正确.

故选：B

【点睛】本题考察了空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，主要考查学生的空间想象能力以及空间中位置关系的判断方法，属于中档题.

10．已知，，则（       ）

A．1 B． C．7 D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【详解】解：因为，所以且，所以﹔

又，所以.

故选：A

11．曲线在处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出得到，再求出，利用直线方程的点斜式即可解出.

【详解】由，得，

∴，又，∴曲线在处的切线方程为，

即.

故选：B.

12．已知抛物线：的焦点为，点，分别在抛物线上，且，，则（       ）

A．4 B．6

C．8 D．12

【答案】B

【分析】由抛物线的定义及其性质，解三角形的知识结合焦点弦公式，即可解出．

【详解】令，则，过，作准线：的垂线，垂足为，，过作，垂足为，如图，易得，

∴在中，，

∴直线的倾斜角为，焦点弦，

∴，

故选：B.

二、填空题

13．若满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

将化为，则数形结合可得，当直线过点时，取得最小值为.

故答案为：

14．某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：

销售额(万元)与广告费用(万元)之间有线性相关关系，回归方程为 (为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为____万元．

【答案】.

【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，得到线性回归方程，取求得值即可．

【详解】，

，

样本点的中心为，

代入，得，即．

线性回归方程为．

取，得，则（万元）．

故答案为：.

15．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则______．

【答案】2

【分析】根据题意，利用余弦定理，列出方程，即可求解.

【详解】在中，，，

由余弦定理可得，

即，解得．

故答案为：.

16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.

【答案】

【分析】根据三视图，可知该几何体为三棱锥，利用锥体的体积公式即可求得该几何体的体积.

【详解】在长4，宽2，高2的长方体中还原该几何体，

由几何体的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，如图所示，

所以体积为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知正项数列的前项和为，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）记，数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【分析】（1）先递推，后相减得（），由此可证得结果；

（2）利用裂项相消法求得，进而可证得结果.

【详解】（1）因为，所以（），

两式相减，得，整理得，

因为，所以（），由结合得，

所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）得，则，

所以，

又，故.

18．2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：

（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？

（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率．

附：

，．

【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）．

【分析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；

（2）根据分层抽样的定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率．

【详解】解：（1）

．

所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关．

（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则

流泪的观众抽到人，记为，，，，

没有流泪的观众抽到人，记为

从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，．

其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，．

所以所求概率．

19．如图，在三棱柱中，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连，，证明与底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；

（2）由棱柱、棱锥体积得，计算三棱锥体积可得结论．

【详解】（1）如图，取的中点，连，，

因为，，

所以，，

又因为，所以，

在中，由，满足，

所以，且，，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

又平面平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知平面，，

所以四棱锥的体积.

20．已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1)由给定条件求出椭圆C1的半焦距，短半轴长即可得解；

(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.

【详解】（1）直线过定点，即椭圆的一个焦点为，

依题意：椭圆的半焦距，短半轴长，长半轴长a有，

所以椭圆的标准方程为；

（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，

由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，

由消去整理得,

设，，则，,

从而有

，

令，函数在单调递增，

则，即时，，

于是有，当且仅当时等号成立，

所以面积的最大值为．

21．已知函数，.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求导可得解析式，分别讨论和两种情况下，的正负，可得的单调区间，即可得答案.

（2）当时，要证，即证，令，利用导数判断的单调性和最值，可得在恒成立，即，又可得时，，综合分析，即可得证.

【详解】（1）

当时，，令，得，令，得.

则在上单调递减，在上单调递增：

当时，令，得或，

所以在区间上单调递减；在区间上单调递增.

（2）当时，，

当时，要证，即证.

令，则，

令，得，令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

所以，即.

因为时，，

所以当时，，

所以当时，不等式成立.

【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于需合理构造函数，再利用导数求解，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.

22．以坐标原点为极点､轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为方程为，曲线的参数方程为.(为参数)

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）在平面直角坐标系中，直线与轴､轴的交点分别为､，点为曲线上任意一点，求的取值范围.

【答案】（1），：（2）.

【分析】（1）根据直线的极坐标为方程将，代入可得；利用消去参数可求出曲线的方程；

（2）求出坐标，设，表示出，即可根据三角函数性质求出范围.

【详解】（1）由题意，直线的极坐标为方程为

可得，因为，，

代入可得直线的直角坐标方程为，

又由，可得，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）由（1）直线的普通方程为，可得点，，

又由曲线的参数方程为(为参数)，设，

则

，其中

因为，所以，

故的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程化普通方程，考查参数方程的应用，解题的关键是利用参数方程设点进行运算.