2022届江苏省南京市六校联合体高三上学期期初联合调研数学试题含解析

这是一份2022届江苏省南京市六校联合体高三上学期期初联合调研数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江苏省南京市六校联合体高三上学期期初联合调研数学试题
一、单选题
1．复数，则在复平面内，复数对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】分析：利用复数运算的乘法法则，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，根据复数的几何意义可得结果.
详解：，



在复平面内，复数对应的点的坐标为，
在第二象限，故选B.
点睛：本题考查复数乘方运算的运算、复数的几何意义以及二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识的能力.
2．已知集合，则的子集个数为（       ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【分析】求出，即得解.
【详解】解：由题得.
因为.
所以.
所以的子集个数为个.
故选：C
3．已知一组数据的平均数为，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的线性运算性质直接求得.
【详解】因为一组数据的平均数为，方差为，
所以另一组数据，，，，的平均数为，
方差为.
故选：D
4．已知，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得的值，利用二倍角公式可得出，在所得代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，代入的值计算即可得解.
【详解】，即，
整理得，，
因此，.
故选：D.
【点睛】易错点点睛：已知，求关于、的齐次式的值，应注意以下两点：
（1）一定是关于、的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
（2）因为，所以可除以，这样可将被求式化为关于的表达式，然后代入的值，从而完成被求式的求值.
5．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于两点，若且，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的右焦点,连接.利用椭圆的几何性质求出.根据由余弦定理列方程的，即可求出离心率.
【详解】设椭圆的右焦点,连接.

根据椭圆对称性可知: ,,所以四边形为平行四边形,则,且由∠PFQ=120°,可得,所以,
解得：.
由余弦定理可得：，
即，所以
所以椭圆的离心率.
故选：A.
6．已知，，，则的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数的单调性比较得，即得解.
【详解】解：由题得，
，
所以.
故选：C
7．设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可.
【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，
所有当时，有4个零点，令，即，解得，
由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间，
即，解得
故选：A
8．已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得三棱锥中，两两垂直，且，进而三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，进而求解得外接球的半径与表面积，再根据等体积法求解内切球的半径，进而计算内切球的表面积，最后计算比值即可得答案.
【详解】解：如图，依题意知，
，，
，平面，
又平面，
所以三棱锥中，两两垂直，且，
所以三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，
所以三棱锥的外接球半径满足，则其外接球的表面积为.
因为三棱锥的表面积为正方形的面积，，
设三棱锥的内切球的半径为，
所以由等体积法得，得，
所以内切球的表面积为
所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为
故选：C．

二、多选题
9．下列说法中正确的有（       ）
A．若，则
B．若，则
C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件
D．若，则的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以判断；
对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断；
对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判断.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，即.故B 不正确；
对于C，，恒成立等价于，
因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为，即.
所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.
对于D,因为，，
=，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为，故D正确.
故选：AD.
10．过点作圆的切线，是圆上的动点，则下列说法中正确的是（       ）
A．切线的方程为
B．圆与圆的公共弦所在直线方程为
C．点到直线的距离的最小值为
D．点为坐标原点，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A.由，得到，再利用点斜式写出切线方程； B. 由和两式相减求解判断；C.先求得点到直线的距离，再减去半径即可； D.设，得到，然后利用直线与圆相切求解判断.
【详解】A.因为，所以，则过点的切线为，即，故正确；
B. 由和两式相减得，故正确；
C.点到直线的距离，所以点到直线的距离的最小值为，故错误；
D.设，则，所以，即，点到直线的距离等于半径得：，解得或 ，则的最大值为，故正确；
故选：ABD
11．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（       ）
A．事件F与G是互斥事件 B．事件E与G不是相互独立事件
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用互斥事件定义可判断选项A，利用独立事件概率公式可判断选项B，利用古典概型概率计算公式求出可判断选项C，利用条件概率计算公式求出可判断选项D．
【详解】对选项A：事件F与事件G能同时发生，故A错误；
对选项C：，故C正确；
对选项D：，故D正确；
对选项B：因为，，
所以，所以事件E与事件G不是独立事件，故B正确；
故选：BCD.
12．设，，，则下列结论中正确的是（       ）
A．
B．当时，
C．若，，则
D．当，时，
【答案】ACD
【分析】分别令和，所得式子作差可得A正确；将代入，即可知B错误；利用二项展开式通项得到，由此构造不等式组求得，知C正确；列出的前项，说明前项和大于即可得到D正确.
【详解】对于A，令得：；令得：，
两式作差得：，A正确；
对于B，，
，
令得：，B错误；
对于C，展开式的通项为：；
由得：，即，解得：，
又，，C正确；
对于D，当，时，，
；
又，，，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查二项式定理中与各项系数和有关的式子的求解、系数绝对值最大项问题、不等式的证明问题；解决各项系数和问题的基本方法是赋值法；解决绝对值最大项的基本思路是利用二项展开式通项公式来构造不等式组；不等式证明是能够结合二项展开式，利用放缩的思想来处理.
三、填空题
13．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为___________.
【答案】70
【分析】利用正态分布的对称性求解即可
【详解】由题意20).
又所以200，
所以
故答案为：70
14．斜率为的直线与抛物线交于两点，点为弦的中点，则抛物线的准线方程为_______________
【答案】
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得的值，即可得到答案；
【详解】设直线的方程为：，即，与联立得：
，
设，
，满足
抛物线的准线方程为：，
故答案为：
15．函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意可得函数是偶函数，且在上为增函数，函数图象与轴只有2个交点，由此可得函数解析式
【详解】因为，，所以是偶函数，
因为当且，，
所以在上为增函数，
因为恰有两个零点，
所以图象与轴只有2个交点，
所以函数的一个解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）
四、双空题
16．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉国学者森德拉姆于年创立.表中每行每列的数都成等差数列，且第行从左至右各数与第列从上至下各数对应相等，则第行第列的数是___________，数字在数表中共出现__________次.
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…

【答案】         
【分析】设第行，第列的数为，对是处于第10行的等差数列；由等差数列的通项公式可得，即可得到答案；
【详解】设第行，第列的数为，
（1）；
（2），
，
或或或，
数字在数表中共出现4次.
故答案为：，4
五、解答题
17．设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，根据已知求出，即得解；
（2）求出，再利用裂项相消法和公式法求和得解.
【详解】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1
若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，
即有，解得或d=0（舍去）          
则.
(2)解：
可得前项和
.
18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角、、的对边分别为、、，且满足__________.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的中点为，求长的最小值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合二倍角公式可得出，结合角的取值范围可求得角的值；
选②，利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选③，利用正弦定理可得出，讨论、的取值范围，可得出的值；
（2）由三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得长的最小值.
【详解】(1)解：若选①，由及正弦定理可得，
因为，则，可得，
，则，所以，，则，
所以，，则，故；
若选②，由及正弦定理可得，
所以，，
因为，则，所以，，则，
，则；
若选③，由及正弦定理可得，
整理可得，
所以，，即，
，，则，同理，
所以，或或.
若，则，则，可得；
若，即，不合题意；
若，即，不合题意.
故.
(2)解：由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理可得，
即,当且仅当时，等号成立，故长的最小值为.
19．今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图引体向上个数只记整数体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组.

(1)第一小组决定从单次完成个的引体向上的男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400

请你根据联表判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量，其中．
下面的临界值表供参考：
P（）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)①；②分布列见解析，
(2)有
【分析】（1）①求出从中选2个，个中选3个，个中选6个，单次完成个引体向上的人共有人，然后利用古典概型的概率公式求解，
②X的所有可能取值有0、1、2，分别求出相应的概率，从而可求出X的分布列和数学期望，
（2）利用求出，然后与临界值比较即可
【详解】(1)①，
所以，，，
即从中选2个，个中选3个，个中选6个，
又因为单次完成个引体向上的人共有人，             
记“单次完成个引体向上的甲被抽中”为事件A，
则                                                    
②X的所有可能取值有0、1、2，
                                     

                            
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
P




所以
(2)因为
所以有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关
20．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，

(1)求证：平面；
(2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证明DE^平面AA1B1B，再由线面垂直得出DE^A1F，再证线面垂直即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求二面角即可.
【详解】(1)因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE为ABC的中位线，且DE//AC

因为ABC－A1B1C1为棱柱，所以AC//A1C1
所以DE//A1C1.
在直棱柱ABC－A1B1C1中，AA1^平面ABC，
因为DEÌ平面ABC， 所以DE^AA1.
又因为A1C1^A1B1，           所以DE^A1B1.
因为AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1Ì平面AA1B1B，
所以DE^平面AA1B1B.
又A1FÌ平面AA1B1B，所以DE^A1F，
又因为A1F^B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1DÌ平面B1DE
所以A1F^平面B1DE.
(2)以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（2，0，0）

因为三棱锥B1－A1C1F的体积为
所以，解得B1F=1，
因为B1D^A1F，且D是AB的中点
所以A1B1F≌B1BD，由    得   
所以B1B=8，则F（4，0，7），A1（0，0，8），B1（4，0，8），C1（0，4，8）
因为E为BC的中点，AB=AC，所以AE^BC，
所以AE^平面BCC1B1，
所以平面BCC1B1的法向量为                                          
设平面A1C1F的法向量为
因为，
由          得       令，则，
故，则

所以平面A1C1F与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值为.
21．在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由已知得，，求得，即可求得方程；
（2）分析设直线OA的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合可求得，
再分类讨论直线OA、OB的斜率为、和直线OA、OB的斜率为、，进而求得直线方程.
【详解】(1)过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，                                                                                        
又C的一条渐近线方程为，则②，
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为．
(2)显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．
联立，整理得，于是得
则，同理可得，
因为
整理得，解得．                                        
即或 （满足）．
考虑到，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为、时，
结合得或，
同理可得或，
于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，
同理可得AB的方程为或或．
②同理，当OA、OB的斜率为、时，
直线AB的方程为，或或或
综上，直线AB的方程为或
22．已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)函数在上的零点的个数为，理由见解析
【分析】（1）先对函数进行求导，在对进行讨论，即可求出答案.
（2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种情况对进行讨论，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有两个零点，当时，无零点.
【详解】(1)，
①当 ，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值
②当，即时，由，解得，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以时，取最小值
即
综上所述：当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)，则
①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点.
当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，，
故函数在区间上有两个不同的零点.
②当时，由，
构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点.
综上，函数在上的零点的个数为.