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    2021-2022学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试题含解析

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    这是一份2021-2022学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试题一、单选题1.设是等差数列的前项和,已知,则等于(       ).A B C D【答案】C【详解】试题分析:依题意有,解得,所以.【解析】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为等基本量,通过建立方程()获得解.即等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方程组的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过设而不求,整体代入来简化运算.2.双曲线的焦点到渐近线的距离为(       A B2 C D【答案】A【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知:该双曲线的焦点坐标为:双曲线的渐近线方程为:所以焦点到渐近线的距离为:故选:A3.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是(       A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】B【分析】根据线线、线面、面面的位置关系,对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A.   一条直线垂直于一平面内的,两条相交直线,则改直线与平面垂直则由,不能得出,故选项A不正确.选项B.     ,正确,故选项B正确.选项C.   ,则可能相交,可能异面,也可能平行,故选项C不正确.选项D.   ,则可能相交,可能平行,故选项D不正确.故选:B4.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点,为双曲线在第一象限上的点,直线分别交双曲线的左,右支于另一点,若,且,则双曲线的离心率为(       A B3 C2 D【答案】D【分析】由双曲线的定义可设,由平面几何知识可得四边形为平行四边形,三角形,用余弦定理,可得的方程,再由离心率公式可得所求值.【详解】由双曲线的定义可得,可得结合双曲线性质可以得到结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形,用余弦定理,得到结合,可得,代入上式子中,得到,即结合离心率满足,即可得出故选:D【点睛】本题考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.5.已知是等差数列的前项和,,则的最小值为(       A B C D【答案】C【分析】根据,可得,再根据,得,从而可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以所以的最小值为.故选:C.6.抛物线的焦点为,准线为,焦点在准线上的射影为点,过任作一条直线交抛物线两点,则为(       A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或直角【答案】D【分析】设出直线方程,联立抛物线方程,利用韦达定理,求得,根据其结果即可判断和选择.【详解】为说明问题,不妨设抛物线方程,则直线斜率显然不为零,故可设直线方程为,联立可得,设坐标为,则时,;当时,为锐角或直角.故选:D.7.设为可导函数,且满足,则曲线在点处的切线的斜率是A B C D【答案】D【详解】由题,为可导函数, ,即曲线在点处的切线的斜率是 ,选D【点睛】本题考查导数的定义,切线的斜率,以及极限的运算,本题解题的关键是对所给的极限式进行整理,得到符合导数定义的形式.8.已知是等比数列,,则       A B C D【答案】D【分析】,可求出公比,从而可求出等比数的通项公式,则可求出,得数列是一个等比数列,然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以所以.所以,所以数列是一个等比数列.所以=.故选:D二、多选题9.直线和圆的位置关系是(       A.相离 B.相切或相离 C.相交 D.相切【答案】CD【分析】直线恒过点(11),且点(11)在圆上,直线的斜率不存在或存在且不为0,结合图形判断直线和圆的关系.【详解】   可化为   圆心为(01),半径为1∵直线恒过点(11),且点(11)在圆上时,直线与圆相切,时,直线与圆相交,∴直线和圆的关系是相交或相切,故选:CD10.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传大衍之数五十的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050,则下列说法正确的是(       A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是180C.此数列偶数项的通项公式为 D.此数列的前项和为【答案】ABC【分析】首先寻找出数列的规律,归纳出通项公式,然后判断各选项即可.【详解】观察此数列,偶数项通项公式为奇数项是后一项减去后一项的项数,,故C正确;由此可得,故A正确;,故B正确;是一个等差数列的前项,而题中数列不是等差数列,不可能有,故D错误.故选:ABC11.如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截,截面是一个椭圆,则(       A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为C.椭圆的方程可以为D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ABD【分析】结合图象根据椭圆的长轴,短轴的几何意义求椭圆的,由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为,椭圆的长半轴长为,半焦距为由图象可得   椭圆的长轴长为4A对,椭圆的离心率为B错,圆的方程可以为C对,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为D对,故选:ABD.12.在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;第次得到数列12,数列的前项为,则(       A B C D【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,再进行推理运算即可.【详解】由题意可知,第1次得到数列1,3,2,此时2次得到数列1,4,3,5,2,此时3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2,此时 4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时次得到数列12 此时所以,故A项正确;结合A项中列出的数列可得: 用等比数列求和可得所以 ,故B项正确;B项分析可知,故C项错误.,故D项正确.故选:ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,对于复杂问题,著名数学家华罗庚指出:善于退,足够的退,退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去,这就是以退为进的思想.三、填空题13.已知函数,若,则________.【答案】【解析】求出导函数,确定导函数是奇函数,然后可求值.【详解】由已知,它是奇函数,故答案为:【点睛】本题考查导数的运算,考查函数的奇偶性,确定函数的奇偶性是解题关键.14.已知数列满足,且.则数列的通项公式为_______【答案】【分析】倒数型求数列通项公式,第一步求倒数,第二步构造数列,求通项.【详解】因为,所以,所以数列是首项为1,公差为1 的等差数列,所以故答案为:.15.平行六面体中,底面是边长为1的正方形, ,则对角线的长度为___.【答案】2【分析】利用,两边平方后,利用向量数量积计算公式,计算得.【详解】两边平方并化简得,.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算,考查空间向量数量积的表示,属于中档题.16.若椭圆和圆c为椭圆的半焦距)有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是_____.【答案】【分析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时,椭圆和圆有四个不同的焦点,由此列不等式,解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点,故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间,即.,两边平方并化简得,即①.,两边平方并化简得,解得②.①②.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系,考查椭圆离心率取值范围的求法,属于中档题.四、解答题17.已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线l与圆A相交于MN两点.1)求圆A的方程.2)当时,求直线l方程.【答案】1;(2.【解析】1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径,从而求解圆的方程;2)根据相交弦长公式,求出圆心到直线的距离,设出直线方程,再根据点到直线的距离公式确定直线方程.【详解】1)由题意知到直线的距离为圆A半径r所以所以圆A的方程为        2)设的中点为Q,则由垂径定理可知,且中由勾股定理易知            设动直线l方程为:,显然符合题意.     到直线l距离为1        所以为所求直线方程.【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18.在公差为的等差数列,已知,且成等比数列.)求)若,.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)【详解】试题分析:(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式.(Ⅱ)结合条件可得,分两种情况去掉中的绝对值后,利用数列的前n项和公式求解.试题解析:成等比数列,整理得解得时,;时,所以)设数列项和为 时,时, 综上 19.如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCDBAD=120oABAD2,点M在线段PD上,且DM2MP平面(1)求证:平面MAC平面PAD(2)PA6,求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接BDAC于点E,连接ME,由所给条件推理出CAAD进而得CA平面PAD,证得结论.(2)首先以A为原点,射线ACADAP分别为xyz轴非负半轴建立空间直角坐标系,再利用向量法求解二面角即可.【详解】(1)(1) 连接BDAC于点E,连接ME,如图所示:平面MACPB平面PBD,平面PBD平面MAC=ME,则BC=1,而AB=2AC2+BC2=4=AB2ACB=90ºCAD=90º,即CAADPA平面ABCDCA平面ABCDPACA,又PAAD=ACA平面PAD,而CA平面MAC平面MAC平面PAD(2)2)如图所示:以A为原点,射线ACADAP分别为xyz轴非负半轴建立空间直角坐标系,设平面PAB和平面MAC的一个法向量分别为平面PAB和平面MAC所成锐二面角为  .20.已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】1)利用的关系求数列的通项公式;2)利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为,故当时,两式相减得又由题设可得从而的通项公式为:(2)因为两式相减得:所以.21.已知抛物线的方程为,点,过点的直线交抛物线于两点.(1)OAB面积的最小值(为坐标原点);(2)是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【答案】(1)(2)是,该定值.【分析】1)根据弦长公式、点到直线距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可;2)根据两点间距离公式,结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】(1)显然直线存在斜率,设直线的方程为:所以有,设则有原点到直线的距离为:OAB的面积为:时,有最小值,最小值为(2)是定值,理由如下:由(1)可知:【点睛】关键点睛:利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)为圆上任意一点,过作椭圆的两条切线,切点分别为AB,判断是否为定值?若是,求出定值:若不是,说明理由,【答案】(1)(2)是;【分析】1)由离心率和焦点三角形周长可求出,结合关系式得出,即可得出椭圆的方程;2)由平行于轴特殊情况求出,即;当平行于轴时,设过的直线为,联立椭圆方程,令化简得关于的二次方程,由韦达定理即可求解.【详解】(1)由题可知,,解得,又,解得,故椭圆的标准方程为:(2)如图所示,当平行于轴时,恰好平行于轴,不平行于轴时,设,设过点的直线为联立,化简得,设,则,又,即.综上所述,. 

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