2021-2022学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校高二上学期期末联考数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校高二上学期期末联考数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校高二上学期期末联考数学（文）试题一、单选题1．命题“，”的否定形式是（       ）A．“，” B．“，”C．“，” D．“，”【答案】C【分析】由全称命题的否定是特称命题即得.【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可. 命题“，”的否定形式是“，”.故选：C.2．“”是“直线与互相垂直”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.3．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（       ）A． B．2 C．3 D．1【答案】B【分析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B4．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（       ）A．的极值点一定是最值点B．的最值点一定是极值点C．在区间上可能没有极值点D．在区间上可能没有最值点【答案】C【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确．故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．5．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（       ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】由，得，，又切线过点，曲线在点处的切线方程为，取，得，取，得．的面积等于．故选：C．6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据原函数图象判断出函数的单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A7．直线（t为参数）被圆所截得的弦长为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得直线的普通方程以及圆的直角坐标方程，利用弦长公式即可求得结果.【详解】因为直线的参数方程为：（t为参数），故其普通方程为，又，根据，故可得，其表示圆心为，半径的圆，则圆心到直线的距离，则该直线截圆所得弦长为.故选：C.8．已知函数（是的导函数），则（       ）A．21 B．20 C．16 D．11【答案】B【分析】根据已知求出，即得解.【详解】解：由题得，所以.故选：B9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为(       )A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程．【详解】由题意可得，即，即有，令，则，可得，则，即，解得，，∴椭圆的方程为．故选：A．10．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.【详解】，在上是增函数，即恒成立，；设，；∴时，是增函数；时，是减函数；故时，，∴；故选：B.11．曲线上的点到直线的距离的最小值是（       ）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D12．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（       ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故选：A.二、填空题13．若满足约束条件 ，则的最小值为________.【答案】5【分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，直线中是直线的纵截距，代入得，即．平移直线，当直线过点时取得最小值5．故答案为：5．14．双曲线的左焦点到直线的距离为________.【答案】【分析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，故可得，解得，故左焦点的坐标为，则其到直线的距离.故答案为：.15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.【答案】【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.【详解】∵的定义域为，，要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，由得，，令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；作出和的图像如图，所以，即，即实数a的取值范围为.故答案为：16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.【答案】【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值 ，，如图所示：由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题17．已知命题； 命题.(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）解不等式组即得解；（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.【详解】(1)解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，有；(2)解：当时，有，由题意知，p、q一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，综上，x的取值范围为18．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.【答案】(1)，(2)2【分析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.【详解】(1)由，消去参数，得，即，所以曲线的普通方程为.由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为(2)将代入，整理得，则，令方程的两个根为由韦达定理得，所以.19．已知.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求在上的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程；(2）根据极值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最小值.【详解】(1)∵，，∴∴∴在处的切线为，即；(2)∵，由题可知，∴，∴单调递增，单调递减，∵，，∴.20．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求：(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为的解析式；(2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值.【答案】(1)，；(2)6万千克，万元.【分析】(1)根据题意找等量关系即可求g(x)解析式，根据函数值可求a；(2)根据g(x)导数研究其单调性并求其最大值即可.【详解】(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为：，，即，，当时，，解得，故，；(2)，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴时，利润最大为万元.21．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).(1)求抛物线的标准方程；(2)经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，然后结合面积公式可得，即求；（2）通过分类讨论，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.【详解】(1)因为点抛物线上，所以，，，因为，故解得，抛物线方程为；(2)当直线的斜率不存在时，直线为，得，.，，则. 当直线的斜率存在时，设直线为，设，，联立得：因为，所以，. 所以，所以直线与的斜率之积为定值.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当a=1时，对于任意的，，都有恒成立，则m的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）由题可得，利用导数与单调性的关系分类讨论即得；（2）由题可得，利用函数的单调性及极值求函数最值即得.【详解】(1)由题可得的定义域为，若，恒有，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，若，令，得，若，恒有在上单调递增，若，当时，；当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，若，当时，；当时，，故在和上单调递增，在上单调递减；综上所述，当，在上单调递增，在上单调递减，当，在和上单调递增，在上单调递减，当，在上单调递增，当，在和上单调递增，在上单调递减；(2)由（1）知，时，在和上单调递增，在上单调递减；当a=1时，，，，∴.又，，∴.由题意得，，∴.