2021-2022学年江西省景德镇市第一中学高二上学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年江西省景德镇市第一中学高二上学期期末

数学（理）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.

【详解】

故选：B.

2．复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案

【详解】解：，

所以复数的虚部为.

故选：D.

3．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.

【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，

∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，

设，

则，，，，，

，，，

设平面PEF的法向量，

则，取，得，

设PB与平面PEF所成角为，

则，

∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.

故选：C.

4．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.

【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，

所以，

当时，圆锥曲线，其离心率为；

当时，圆锥曲线，其离心率为；

综上，圆锥曲线的离心率为或.

故选：A.

5．“”是“函数在上有极值”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：，则，

令，可得，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

所以，函数在处取得极小值，

若函数在上有极值，则，，

因为，但是由推不出，

因此是函数在上有极值的必要不充分条件．

故选：B．

6．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（       ）

A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0

C．x－4y＋3＝0 D．4x＋y＋4＝0

【答案】D

【分析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案.

【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为

因为曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即

所以l的方程为，即

故选：D

7．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

由题意可知，对任意的恒成立，则，

当时，在上单调递减，在上单调递减，

所以，，故.

故选：A.

8．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可．

【详解】从到成立时，左边增加的项为，

因此增加的项数是，

故选：C

9．设，，，…，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.

【详解】，，

，，

，……，以此类推，

，所以.

故选：B

10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.

【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，

当时，，，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

，，则在上值的集合为，

因函数的值域为，于是得，则，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

11．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点；

当时，由得，可得，

令，其中，则直线与曲线有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，

且当时，，作出直线与曲线如下图所示：

由图可知，当时，即当时，

指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.

故选：A.

12．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.

【详解】因为函数的图象关于轴对称，则，

故，

，

又因为，都有，所以，，

所以，，

，，

因为当时，，，

当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，

因为，则，故.

故选：A.

二、填空题

13．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.

【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.

所以的取值范围为

故答案为：

14．若，则___________．

【答案】

【分析】先求出函数的导函数，再求出，即可得出答案.

【详解】解：由，

得，

则，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

15．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值．

【详解】解：函数的导数为，

设与直线平行的直线与曲线相切，

设切点为，则，

所以，所以，所以，所以，

所以切线方程为，

可得的最小值为，

故答案为：．

16．过抛物线的准线上任意一点做抛物线的切线，切点分别为，则A点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值为___________．

【答案】8

【分析】设，，，，由可得，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值．

【详解】解：设，，，，由可得，所以，

所以直线，的方程分别为：，，

联立，解得，

即，，又有在准线上，所以，

所以，

设直线的方程为：，

代入抛物线的方程可得：，可得，

所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，

即直的方程为：，代入抛物线的方程：，

，所以，

点到准线的距离与点到准线的距离之和，

所以当时，距离之和最小且为8，这时直线平行于轴．

故答案为：8．

三、解答题

17．若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，求实数a的值．

【答案】或3．

【分析】设出切点，先求和平行且和函数相切的切线，再将切线和联立，求出的值.

【详解】设公共切线曲线上的切点坐标为，根据题意，得公共切线的斜率，所以，所以与函数的图像相切的切点坐标为，故可求出公共切线方程为．

由直线和函数的图像也相切，得方程，

即关于x的方程有两个相等的实数根，

所以，解得或3．

18．如图，在半径为6 m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|x m，圆柱的体积为V m3.

(1)写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；

(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大 最大体积是多少?

【答案】(1)，；

(2)时，最大值为 m3.

【分析】(1)连接，在中，由，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为，求出．利用(其中即可得出；

(2)利用导数，求出V的单调性，即可得出结论．

(1)

连接，在中，，，

设圆柱底面半径为，则，

即，

，其中．

(2)

由及，得，

列表如下：

∴当时，有极大值，也是最大值为 m3．

19．如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.

(1)证明：图2中，平面；

(2)图2中，求二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；

（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.

(1)

由已知得：,

平面，

又平面,

在中，,由余弦定理得：，

，即，平面.

(2)

由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则与，

即与,..

,

观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.

20．已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.

(1)求椭圆的方程;

(2)直线与椭圆交于不同的两点，，记的面积为，当时求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.

（2）首先设，，再根据求解即可.

(1)

由题意，，

因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，

则，

所以椭圆的标准方程为.

(2)

设，，且

根据椭圆的对称性得，

联立方程组，整理得，解得，

因为的面积为3，可得，解得.

21．已知函数.

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

(2)若在上存在极值点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，分类讨论，再次利用导数研究函数的最值即可；

（2）由（1）可知，在存在极值点，则且，求得，再两次求导即可得结论.

(1)

由题得，

在，上为单调递增的函数，

在，上恒成立，

设，

当时，由，得，

在，上为增函数，

则，

在,上恒成立

，满足命题，

当时，由，得，

在上为减函数，

，时，，即，

不满足恒成立，

不成立，

综上：的取值范围为.

(2)

证明：由（1）可知，在存在极值点，则

且即：

要证只需证

即证

又由（1）可知在上为增函数，

且,

成立.

要证只需证

即证：

设

则

即在上为增函数

在为增函数

成立.

综上，成立.

22．己知函数(其中为自然对数的底数)

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.

(1)

解：

①，在上单调增；

②，令，单调减

单调增；

③，单调增

单调减.

综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

解：由题意知在上恒成立

，

令，，

单调递增

∵，

∴使得，即

单调递减；单调递增

，

令，则

在上单调增

，

∴实数的取值范围是