2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考数学试题
一、单选题
1．在等差数列{an}中，a1=1，，则a7=（     ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】利用等差数列的基本量，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，，解得：，
则.
故选：A
2．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（     ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】根据抛物线和椭圆焦点与其各自标准方程的关系即可求解.
【详解】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，
∴.
故选：B.
3．若直线与直线垂直，则a=（     ）
A．-2 B．0 C．0或-2 D．1
【答案】C
【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.
【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.
故选：C
4．如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据代入计算化简即可.
【详解】
故选：B.
5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（     ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
【答案】A
【分析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
【详解】由条件可知，，
化简为：，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，
所以两圆相交.
故选：A
6．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，
∴，，
∴，
所以AN与BM所成角的余弦值为.
故选：D
7．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论．
【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．
故选：A．

8．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（       ）
A．2022年12月11日 B．2022年11月11日 C．2022年10月11日 D．2022年9月11日
【答案】C
【分析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，
分析首次达到1万元的值，即得解
【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为.
因为为增函数，
且，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.
故选：C
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（     ）
A．直线在y轴上的截距为-2 B．直线的倾斜角为120°
C．直线(m∈R)必过定点(0，-3) D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7
【答案】AC
【分析】根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线的距离.
【详解】A.直线中，当时，，故A正确；
B. 直线的斜率，所以倾斜角为，故B错误；
C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C正确；
D.点到直线的距离，故D错误.
故选：AC
10．已知方程，则（     ）
A．时，方程表示椭圆
B．时，所表示的曲线离心率为
C．时，所表示曲线的渐近线方程为
D．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】根据椭圆，双曲线的简单几何性质计算可得结论．
【详解】因为，
对于A：若方程表示椭圆，所以，
解得或故A错误；
对于B：若m＝0，则，所以a2＝16，b2＝9，所以，
所以，故B正确；
对于C：若，则曲线方程为，则渐近线方程为,
故C错误；
对于D：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得m＞16，
故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，，故D正确；
故选：BD
11．（多选）将个数排成n行n列的一个数阵，如图：

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据等差数列等比数列的通项公式计算判断AB,分别按行、列由等差等比数列计算可判断C,采用分组求和的方法计算可判断D.
【详解】由，，得，
所以或（舍去），故A正确；
，故B错误；
，故C正确；



故D正确．
故选：ACD．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（     ）


A．直线AC1⊥平面BCD1A1
B．点B1到平面BCD1A1的距离是
C．无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E
D．若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为
【答案】BCD
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，判断ACD，结合等体积公式，求点B1到平面BCD1A1的距离，判断选项B.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
A.，，
因为，所以与不垂直，那么与平面不垂直，故A错误；
B.点到平面的距离即点到平面的距离，设点到平面的距离为，
因为，即
得，解得：，故B正确；
C.因为点在线段上，所以
，，，
所以，故C正确；
D.，，
，
因为，所以求的最小值，即求的最大值，
当时，取得最大值，最大值是，此时，故D正确.

故选：BCD
三、填空题
13．直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________.
【答案】
【分析】根据直线方向向量求出直线斜率即可得直线方程.
【详解】因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率，
所以l方程为：，即其一般式方程为：.
故答案为：.
14．在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由已知可得，，
因为，则，
即，解得.
故答案为：.
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2020>0，S20210，S20210)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左、右支分别交于点A，B.且|AF2|=|BF2|，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的关系，再由离心率公式可得所求值．
【详解】过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，

因为直线l的倾斜角为 ，
所以在直角三角形F1F2N中，，
由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，
同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，
即|AN|＝2a，
所以|AF1|＝c﹣2a，因此，
在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，
所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，
则 ，
故答案为：
四、解答题
17．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.
【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由，得        
解得                                          
所以(n∈N)；
(2)由（1）可知，               
故，                                 
所以     

18．已知圆C的方程为.
(1)直线l1过点P(3，1)，倾斜角为45°，且与圆C交于A，B两点，求AB的长；
(2)求过点P(3，1)且与圆C相切的直线l2的方程.
【答案】(1)
(2)x=3或
【分析】（1）首先利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直定理、勾股定理计算可得；
（2）依题意可得点在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但直线的斜率存在时设直线方程为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，即可得解；
【详解】(1)解：根据题意，直线的方程为，即，                 
则圆心到直线的距离为                      
故；
(2)解：根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：
当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，
此时与圆C：相切，满足题意；        
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，               
直线与圆相切时，圆心到直线的距离为        
解得                                                            
此时，直线的方程为，                  
所以满足条件的直线的方程是或.
19．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O为底面正方形ABCD对角线的交点，E为PD的中点，且PA=AD.

(1)求证：PB∥平面EAC；
(2)求直线BD与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判断定理，证明线线平行，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.
【详解】(1)连结EO，                                           
由题意可得O为BD的中点，又E是PD的中点，
∴PB∥EO，                                                       
又∵EO平面EAC，PB平面EAC，            
∴PB∥平面EAC；
(2)如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，       
∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，               
设平面EAC的法向量为=(x，y，z)，
则，即，即，
令y=1得x=-1，z=-1，
∴平面EAC的一个法向量为=(-1，1，-1)，             
∴            
设直线BD与平面EAC所成的角为θ，则sinθ=
∴直线BD与平面       EAC所成的角的正弦值.                 

20．已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.
(1)证明：{+1}为等比数列；
(2)设数列{}的前n项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用已知条件证明为常数即可；
(2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围.
【详解】(1)∵＝2，(n≥2，)，
∴当n≥2时，(常数)，
∴数列{＋1}是公比为3的等比数列；
(2)由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴，∴，
∴


∵，∴
∴，
∴
∴.
当n≥2时，
∴{}为递增数列，故的最小值为，
∴.
21．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.

图1                                                            图2
(1)求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；
（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.
【详解】(1)∵，E为BD的中点
∴CE⊥BD，
又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，
∴⊥平面ABD，                 
如图以E为原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，       
则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，
∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，            
设平面的法向量为=(x，y，z)，
则，
取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，            
设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，
则
取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，             
∴                  
设平面ABD与平面的夹角为θ，则
∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.
(2)假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，          
设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，
∴，，z=0，                  
∴，     
是平面 的一个法向量                  
由∥，得，此方程无解.               
∴线段AD上不存点M，使得平面.                            

22．已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
【详解】(1)
由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
(2)由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).