2021-2022学年江西省六校高二上学期期末联考数学(文)试题含解析
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这是一份2021-2022学年江西省六校高二上学期期末联考数学(文)试题含解析,共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省六校高二上学期期末联考数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】求出集合A,列举法求集合B,再求它们交集即可.【详解】因为,,∴.故选:D.2.已知,,,则下列判断正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据对数函数的单调性,以及根式的运算,确定的大小关系,则问题得解.【详解】因为,即;又,故.故选:A.3.设满足 则的最大值为A. B.2 C.4 D.16【答案】C【详解】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,顾名思义,是由七块板组成的.这七块板可拼成许多图形(1600种以上),如图所示,某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状,若从“鸽子”身上任取一点,则取自“鸽子头部”(图中阴影部分)的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设正方形边长为1,求出七巧板中“4”这一块的面积,然后计算概率.【详解】设正方形边长为1,由正方形中七巧板形状知“4”这一块是正方形,边长为,面积为,所以概率为.故选:C.5.下列四个命题中为真命题的是( )A.设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y=x对称【答案】D【分析】根据推出关系和集合的包含关系判断A,根据全称命题的否定形式可判断B,根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C,根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解:对于选项A:是的真子集,所以命题p是q的充分不必要条件,故A错误;对于选项B:命题“”的否定是“”,故B错误;对于选项C:函数,当时,,函数单调递减,当时取最小值,故C错误;对于选项D:与互为反函数,故图象关于直线y=x对称,故D正确.6.执行如图的程序框图,输出的S的值为( )A. B.0 C.1 D.2【答案】A【分析】直接求出的值即可.【详解】解:由题得,程序框图就是求,由于三角函数的最小正周期为, ,,所以.故选:A7.已知函数,则函数在区间上的最小值为( )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据已知条件求得以及,利用导数判断函数的单调性,即可求得函数在区间上的最小值.【详解】因为,故可得,则,又,令,解得,令,解得,故在单调递减,在单调递增,又,故在区间上的最小值为.故选:.8.已知一个几何体的三视图如图,则其外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据三视图还原几何体,将几何体补成长方体,计算出几何体的外接球直径,结合球体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体,如下图所示:由图可知,该几何体为三棱锥,且平面,将三棱锥补成长方体,所以,三棱锥的外接球直径为,故,因此,该几何体的外接球的体积为.故选:D.【点睛】方法点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段两两互相垂直,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用求解.9.设函数的图象为C,则下面结论中正确的是( )A.函数的最小正周期是B.图象C关于点对称C.函数在区间上是增函数D.图象C可由函数的图象向右平移个单位得到【答案】B【分析】化简函数解析式,求解最小正周期,判断选项A,利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间,判断选项BC,再由图象变换法则判断选项D.【详解】,所以函数的最小正周期为,A错;令,得,所以函数图象关于点对称,B正确;由,得,所以函数在上为增函数,在上为减函数,C错;函数的图象向右平移个单位得,D错.故选:B10.阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比满足:,当P、A、B三点不共线时,面积的最大值是( )A. B.2 C. D.【答案】C【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系,求出点P的轨迹方程,探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答.【详解】依题意,以线段AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图,则,,设,因,则,化简整理得:,因此,点P的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,点P不在x轴上时,与点A,B可构成三角形,当点P到直线(轴)的距离最大时,的面积最大,显然,点P到轴的最大距离为,此时,,所以面积的最大值是.故选:C11.已知抛物线C:的焦点为F,过点P(-1,0)且斜率为的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则( )A. B.14 C. D.15【答案】C【分析】设A、B两点的坐标分别为,,根据抛物线的定义求出,然后将直线的方程代入抛物线方程并化简,进而结合根与系数的关系求得答案.【详解】设A、B两点的坐标分别为,,直线的方程为,抛物线的准线方程为:,由抛物线定义可知:.联立方程,消去y后整理为,可得,,.故选:C.12.已知函数,若在处取得极值,且恒成立,则实数的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据已知在处取得极值,可得, 将在恒成立,转化为 , 只需求,求出最小值即可得答案【详解】解:,,由在处取得极值,得,解得, 所以,,其中,.当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,故函数在处取得极小值,,恒成立,转化为, 令,,则,,令得,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,即得,故选:D.二、填空题13.若向量满足,则_________.【答案】【分析】根据题目条件,利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为:.14.等比数列的各项均为正数,且,则__________.【答案】10【分析】由等比数列的性质可得,再利用对数的性质可得结果【详解】解:因为等比数列的各项均为正数,且,所以,所以故答案为:1015.已知函数,则________.【答案】.【分析】将代入计算,利用和互为相反数,作差可得,计算可得结果.【详解】解:函数则.,,作差可得:,即,解得:代入此时成立.故答案为:.16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点是圆上一个动点,且线段的中点在的一条渐近线上,若,则的离心率的取值范围是________.【答案】 【分析】设,,因为点是线段的中点,所以有,代入坐标求出点的轨迹为圆,因为点在渐近线上,所以圆与渐近线有公共点,利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率,数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围,从而求出离心率的范围.【详解】解:设,,因为点是线段的中点,所以有,即有,因为点在圆上,所以满足:,代入可得:,即,所以点的轨迹是以为圆心,以1为半径的圆,如图所示:因为点在渐近线上,所以圆与渐近线有公共点,当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点,则:圆心到渐近线的距离为,因为,所以,即,且,所以,此时,,当时,渐近线与圆有公共点,.故答案为:.三、解答题17.2022北京冬奥会即将开始,北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔,其中4名男生,2名女生.(1)若从中挑选2名志愿者,求入选者正好是一名男生和一名女生的概率;(2)若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位,那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛,共赛10局.A、B两组分数(单位:分)如下:A:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142B:126,115,143,126,143,115,139,139,115,139从统计学角度看,应选择哪个组更合适?理由是什么?【答案】(1)(2)答案见详解.【分析】(1):把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件,同时可得出,两人是一男一女的基本事件,计数后可计算概率;(2):求出两组数据的均值和方差,比较可得.【详解】(1)设4名男生分别用A,B,C,D表示:2名女生分别用1,2表示.基本事件为:,,,,,,,,,,,,共15种,所以所求概率为;(2)A组数据的平均数,B组数据的平均数,A组数据的方差,B组数据的方差,所以选择A队.理由:A、B两队平均数相同,且,A组成绩波动小.18.已知数列的前项和为,满足_______.请在①;②,;③三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成上述问题.注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析,;(2).【分析】(1)选①,可得出,由可求得数列的通项公式;选②,分析可知数列是公差为的等差数列,根据已知条件求出的值,利用等差数列的求和公式可求得数列的通项公式;选③,在等式中令可求得的值,即可得出数列的通项公式;(2)求得,利用裂项相消法可求得.【详解】(1)解:选①,因为,则,则,当时,,也满足,所以,对任意的,;选②,因为,则数列是公差为的等差数列,所以,,解得,则;选③,对任意的,,则,可得,因此,.(2)解:因为,因此,.19.已知中,内角的对边分别为,且满足.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)2;(2).【分析】(1)利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出,而,即可求出的值;(2)根据题意,由余弦定理得,再根据基本不等式求得,当且仅当时取得等号,即可求出面积的最大值.【详解】(1)解:由题意得,由正弦定理得:,即,即,因为,所以.(2)解:由余弦定理,即,由基本不等式得:,即,当且仅当时取得等号,,所以面积的最大值为.20.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)若AD=2,PD=3,∠BAD=60°,求三棱锥PADM的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)过M作MN∥CD交PD于点N,证明四边形ABMN为平行四边形,即可证明BM∥平面PAD.(2)过B作AD的垂线,垂足为E,证明BE⊥平面PAD,在利用VP-ADM=VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解:(1)证明:如图,过M作MN∥CD交PD于点N,连接AN.∵PM=2MC,∴MN=CD.又AB=CD,且AB∥CD∴AB∥MN∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN. 又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD∴BM∥平面PAD.(2)如图,过B作AD的垂线,垂足为E.∵PD⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D∴BE⊥平面PAD.由(1)知,BM∥平面PAD∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离,即BE.连接BD,在△ABD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∴BE=则三棱锥PADM的体积VP-ADM=VM-PAD=×S△PAD×BE=×3×=.21.已知椭圆的离心率为,右焦点为F,且E上一点P到F的最大距离3.(1)求椭圆E的方程;(2)若A,B为椭圆E上的两点,线段AB过点F,且其垂直平分线交x轴于H点,,求.【答案】(1);(2)【分析】(1)根据离心率和最大距离建立等式即可求解;(2)根据弦长,求出直线方程,解出点的坐标即可得解.【详解】(1)椭圆的离心率为,右焦点为F,且E上一点P到F的最大距离3,所以,所以,所以椭圆E的方程;(2)A,B为椭圆E上的两点,线段AB过点F,且其垂直平分线交x轴于H点,所以线段AB所在直线斜率一定存在,所以设该直线方程代入,整理得:,设,,,整理得:,当时,线段中点坐标,中垂线方程:,;当时,线段中点坐标,中垂线方程:,,综上所述:.22.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若,且,讨论函数的零点个数.【答案】(1).(2)答案见解析.【分析】(1)求导函数,求得,,由此可求得曲线在点处的切线方程;(2)求得导函数,分和讨论,当时,设,求导函数,分析导函数的符号,得出所令函数的单调性,从而得函数的单调性,根据零点存在定理可得答案.【详解】(1)解:当时,,所以,故,,所以曲线在点处的切线方程为.(2)解:依题意,则,当时,,所以在上单调递增;当时,设,此时,所以在上单调递增,又,,所以存在,使得,且在上单调递减,在上单调递增.综上所述,在上单调递减,在上单调递增.又,所以当,即时,有唯一零点在区间上,当,即时,在上无零点;故当时,在上有1个零点;当时,在上无零点.
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