2020-2021学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二上学期开学考试数学（理）试题含解析

这是一份2020-2021学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二上学期开学考试数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（       ）．A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥C．A与B相等 D．【答案】D【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；由古典概型知，，所以，D正确.故选：D2．有两种糖块，A种糖块18元/kg，B种糖块24元/kg，超市计划把A，B两种糖块按照的比例混合出售，则合理的价格应为（       ）A．18元/kg B．24元/kg C．21元/kg D．22元/kg【答案】D【分析】根据分层抽样的知识，直接列出算式可求得答案.【详解】由题意，知合理的价格应为（元/kg）.故选：D3．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（       ）A．14 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由分步乘法原理求传递的不同信息种数.【详解】根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，故选：D．4．已知等差数列的前11项之和为，则等于（       ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据等差数列性质结合前11项之和为，求出，，即可求解.【详解】根据等差数列即，所以，又因为，所以，故选：C.【点睛】此题考查根据等差数列性质求数列的项，进行基本计算，属于基础题目.5．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意得，角的终边上一点坐标为，即，所以，所以，所以角的最小正值为，故选C.【解析】三角函数的概念.6．已知，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据同角三角函数的基本关系求出，；【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以故选：A7．如图，程序框图输出的结果为（     ） A． B． C． D．【答案】A【解析】根据程序框图可知，该程序的功能是计算的值，利用裂项相消法即可求出.【详解】根据程序框图可知，该程序的功能是计算的值，则.故选：A.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定【答案】A【分析】由余弦定理可知c2＝a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a与b的大小关系．【详解】解：∵∠C＝120°，ca，∴由余弦定理可知c2＝a2+b2﹣2abcosC，（）2＝a2+b2+ab．∴a2﹣b2＝ab，a﹣b，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b，∴a＞b故选A．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．9．已知是函数的一个极大值点，若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意知及，求出得到，方程在上有且仅有一个实数根，转化为函数的图象与直线有且仅有一个交点，结合图象可得答案.【详解】由题意知，则，，又，所以，所以，方程在上有且仅有一个实数根，即函数的图象与直线有且仅有一个交点，作出的图象，如图所示，由图易知满足题意的实数的取值范围是或，故选：A.【点睛】本题考查了通过图象求三角函数解析式及求参数的问题的问题，关键点是作出图象可快速得到答案，考查了学生的数形结合、运算求解的能力.10．已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（       ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】由题意可得，，从而可求的m、n的值，即可得出答案.【详解】解：因为、、、为锐角，则，当且仅当时取等号，同理，，故不可能有4个数都大于，所以最多三个数大于，所以，例如，故最多有4个数均小于，所以，例如，所以.故选：B.11．若平面向量，，两两夹角相等且不共线，若，，，则的值为（       ）A． B． C．2 D．6【答案】B【分析】根据向量的模的计算方法即可求解.【详解】解：平面向量，，两两夹角相等且不共线，故平面向量，，两两夹角都为，即，， .故选：B.12．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解.【详解】令得：，令，则，，即，，令，则，由恒成立知，当时，， 单调递增，当时，， 单调递减，时，，时方程恒有根，即，故选：D二、填空题13．有5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为_________.【答案】【分析】写出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从数字标为1，2，3，4，5的5卡片中随机抽取2张，抽取的结果如下：，共有种，其中乘积为偶数的有，共有种，所以取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、写基本事件个数，属于基础题.14．图是甲、乙两人在次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______.【答案】【详解】试题分析：由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以的概率.【解析】茎叶图、随机事件的概率15．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________.【答案】【分析】根据，，求得，代入求解.【详解】因为，，所以，，所以，，故答案为：16．已知动直线l与圆相交于A，B两点，且满足，点C为直线l上一点，若M是线段AB的中点，则________.【答案】3【分析】先在直角三角形中求出，再根据投影的概念得到.【详解】解：如图：在直角三角形中，，，故答案为：3.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题.三、解答题17．已知等腰三角形的一个底角的正弦等于，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切.【答案】；；【解析】设底角为，则顶角为.利用同角三角函数的基本关系式求得的值，利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，求得顶角的正弦、余弦和正切.【详解】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为.由题意得如，由底角必为锐角，得，..【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式和二倍角公式，属于基础题.18．设是两个不共线的非零向量.（1）若求证：A，B，D三点共线；（2）试求实数k的值，使向量和共线.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用向量共线定理证明向量与共线即可；（2）利用向量共线定理即可求出【详解】（1）∵，∴//，又有公共点B∴A、B、D三点共线．（2）设，化为，∴，解得k＝±1．19．已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1)；(2).【详解】试题分析：（1）先判断的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出，将所求进行变形，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与的取值范围，确定的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出、，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为，所以，于是（2）因为，故所以中.【解析】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.20．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取5人，再从这5人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率．【答案】（1）作图见解析；中位数为4.3；（2）．【分析】（1）设中位数为x，则有，故可求中位数.（2）利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：（1）第二组的频率为，故第二组小矩形的高为 频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为，前三组的频率之和为，可知中位数在第三组，设中位数为x，则有，解得，所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3；（2）因为，所以在抽取的5个运动卫士中，运动达人有2人，从这5人中抽取2人，共有种抽法，抽到的2人中恰有1人为运动达人，共有种抽法，故从这5人中抽取2人做进一步调查，抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率为．21．为援助玉树灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河北省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．（1）企业E中标的概率是多少？（2）在中标的企业中，至少有一家来自河北省的概率是多少？【答案】（1）（2）【详解】（1）从这6家企业中选出2家的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共有15种 其中企业E中标的选法有（A，E），（B，E），（C，E），（D，E），（E，F）共5种则企业 E中标的概率为（2）解：在中标的企业中，没有来自河北省选法有：（A，B），（A，C），（B，C）共3种     “在中标的企业中，没有来自河北省”概率为“在中标的企业中，至少有一家来自河北省”的概率为22．已知数列中，，其前项和满足.（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和；（3）设为非零整数，是否存在的值，使得对任意恒成立，若存在求出的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析，（2）（3）存在【详解】试题分析：（1）Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+1，可得an+1=an+1（n≥2）．又a2-a1=1，即可证明{an}为等差数列．（2）由（1）知，即得（3），．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．试题解析：（1）由已知得，即， 又也满足上式，所以为等差数列，所以，公差，所以.（2）由（1）知，所以.（3）因为，所以，要使恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立.①当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值，所以.②当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，所以，即，又为非零整数，则，综上所述，存在，使得对任意，都有.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的证明及等差数列前n项和公式，数列恒成立问题，在处理恒成立时，转化为恒成立，即恒成立,分为奇数，n为偶数进行讨论求最值即得解.