2021-2022学年北京市第二中学高二3月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年北京市第二中学高二3月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市第二中学高二3月月考数学试题
一、单选题
1．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（       ）
A．18 B．20 C．22 D．30
【答案】B
【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.
【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：，
所以抽取的高二年级学生人数为.
故选：B
2．在等差数列中，前n项和为，若，那么等于（       ）
A．70 B．55 C．40 D．35
【答案】C
【分析】由等差数列前项和公式求解
【详解】由题意得，故，而，
则，，．
故选：C
3．等比数列中，则“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨等比数列公比，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】设等比数列公比为，，
若，即，解得，则，即成立，
若，即，解得或，当时，，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
4．走路是“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（       ）

A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙
C．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 D．这一星期内乙的日步数的30%分位数是7030
【答案】D
【分析】对于A：直接求出中位数；
对于B：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；
对于C：分别计算出甲、乙方差，即可判断；
对于D：将乙的日步数从小到大排列，计算可得；
【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；
对于B：，.
所以.故B正确；
对于C：所以.故C正确；
甲的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，
，故这一星期内乙的日步数为分位数是10060，故D错误.
故选：D.
5．2021年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，计算(A)、的值，从而．
【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，
则(A)，，．
故选：A．
6．已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（       ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】由抛物线的定义得P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，再结合在抛物线上，解方程即可.
【详解】由题意知：抛物线的准线为，则P到抛物线C的焦点的距离为，P到y轴的距离为，
故，又，解得.
故选：A.
7．第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是（       ）
A．324 B．306 C．243 D．162
【答案】B
【分析】先求得总的观看方案，再减去两个分项都相同的观看分案求解.
【详解】由题意得：总的观看方案为，
两个分项都相同的观看分案为，
所以观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是，
故选：B
8．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为S1,S2,S4成等比数列,
所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,
即d2=2a1d,d=2a1,
所以===3.故选C.
9．若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
【答案】B
【详解】由可知，
而
,
所以使成立的最大自然数n是4006.
10．已知，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据乘积和复合函数的导数公式求导可得.
【详解】因为
所以.
故选：C
11．（），若是递减数列，则实数的取值范围是（　　   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据是递减数列，结合分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】依题意数列是递减数列，且，所以，解得.所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本小题主要考查数列的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题.
12．若数列的各项均为正整数，且满足，若存在正整数T，使得对任意的n，都有成立，则的不同取值的个数为（       ）
A．5 B．11 C．15 D．无数个
【答案】B
【分析】用完全归纳法一一列举出来.
【详解】若数列的各项均为正整数，且存在正整数T，使得对任意的n，都有成立，则为周期数列，且周期为T.
对的取值进行列举：









……
第1种情况
1
8
4
2
1
8
4
2
……
第2种情况
2
1
8
4
2
1
8
4
……
第3种情况
3
10
5
12
6
3
10
5
……
第4种情况
4
2
1
8
4
2
1
8
……
第5种情况
5
12
6
3
10
5
12
6
……
第6种情况
6
3
10
5
12
6
3
10
……
第7种情况
7
14
7
14
7
14
7
14
……
第8种情况
8
4
2
1
8
4
2
1
……
第9种情况
9
16
8
4
2
1
8
4
……
第10种情况
10
5
12
6
3
10
5
12
……
第11种情况
11
18
9
16
8
4
2
1
……
第12种情况
12
6
3
10
5
12
6
3
……
第13种情况
13
20
10
5
12
6
3
10
……
第14种情况
14
7
14
7
14
7
14
7
……
第15种情况
15
22
11
18
9
16
8
4
……
第16种情况
16
8
4
2
1
8
4
2
……
……
从上面的归纳可以看出：
当时，为周期数列，且周期为，每一个周期内只含有1，8，4，2，且中最大项为8；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有2，1，8，4，且中最大项为8；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有3，10，2，12，6，且中最大项为12；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有4，2，1，8，且中最大项为8；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有5，12，6，3，10，且中最大项为12；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有6，3，10，5，12，且中最大项为12；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有7，14，且中最大项为14；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有8，4，2，1，且中最大项为8；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有10，5，12，6，3，且中最大项为12；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有12，6，3，10，5，且中最大项为12；
当时，为周期数列，且周期为,每一个周期内只含有14，7，且中最大项为14；
一共有11种情况.
当时，，，后面的各项进入8，4，2，1，8，4，2，1……的循环，但是，不能进入循环，故不是周期数列；
当时，，，，，后面的各项进入8，4，2，1，8，4，2，1……的循环，但是，，，，不能进入循环，故不是周期数列；
当时，，，后面的各项进入10，5，12，6，3，10，5，12……的循环，但是，不能进入循环，故不是周期数列；
由上面可以看出数列为周期数列，当时，数列的各项由1，2，4，8构成；当时，数列的各项由3，5，6，10，12构成；当时，数列的各项由7，14构成；
所以当时，均大于上面的周期数列中的各自的最大项，且最大项出现在第二项或第三项，后面的项都比最大项小，即最大项也不能进入循环，所以都不是周期数列.
故的不同取值有11种情况.
故选：B

二、填空题
13．在等比数列中，，则__________.
【答案】0.75
【分析】由等比数列的通项公式分别用和表示出，
得到关于和的方程组，进而求解即可．
【详解】由等比数列的通项公式得：

，
由以上两式得：，


故答案为：
14．在的展开式中，的系数是__________.
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式，可令求得的系数.
【详解】展开式的通项公式为：，
令，解得：，的系数为.
故答案为：.
15．已知直线是函数的切线，则的值为______．
【答案】
【详解】试题分析：
【解析】曲线的切线与导数的关系.
16．已知数列为差数列，，则_________.
【答案】
【分析】由题意首先确定数列的公差和数列的前两项，据此可得，解方程即可求得的值.
【详解】由题意可得：，，
数列为等差数列，则其公差为：，
则：，解得：.
故答案为：．
17．数列的前n项和记为，已知.则________.
【答案】
【分析】由，分和，利用数列通项和前n项和的关系求解.
【详解】由，
当时，，
当时，得，
两式相减得，即，
又，
所以是从第二项开始的等比数列，
所以，
综上：，
故答案为：
18．已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
【答案】
【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解
【详解】解：由题意作出图形，

设双曲线的焦距为,根据题意可得：
,①
,②
①②得：，即
所以，所以：
①②得：
所以,
所以, ,
所以当时, 的面积取最大值,
所以,
所以,
故答案为: .
三、双空题
19．已知数列满足以下条件：，其中m，n为任意正整数且.则_______；________.
【答案】     1    
【分析】由，分别，，求得，从而得到，利用累加法求解.
【详解】解：由，
令，得，
令，得，
解得，
则，即，
所以，
，
，
故答案为：1，

四、解答题
20．已知等差数列的通项公式为，各项都是正数的等比数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出数列的公比，再根据已知列式计算作答.
（2）由（1）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】(1)依题意，，设等比数列公比，，由得：，
解得，(舍去)
所以数列的通项公式.
(2)依题意，是等差数列，首项，公差，由（1）得：
，
所以.
21．学校组织解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道解析几何和两道立体几何，先解答解析几何，正确得2分，错误得0分；再解答两道立体几何，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分.小明同学准备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是；立体几何解答正确的概率为.假设小明同学每道题的解答相互独立.
(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
(2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值；
(3)若小红同学也准备参加比赛，她目前的水平是：解析几何解答正确的概率是，立体几何解答正确的概率为.设小红同学获得的总分Y的均值为，比较和的大小关系.（不用说明理由）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解
（2）分析的可能取值，求出对应概率后得分布列，再由均值的公式求解
（3）计算两人总分均值后比较大小
【详解】(1)题目有一道解析几何和两道立体几何，解析几何解答正确的概率是；立体几何解答正确的概率为，
故小明同学恰好有两道题解答正确的概率

(2)由题意得的可能取值为
，，
，
，
，
则的分布列为

0
1
2
3
5







(3)同理求，
，
，
，
，

故．
22．已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，平面，E、F、G、O分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小；
(3)问：线段上是否存在点M，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合正三角形的性质可证；
（2）根据二面角的平面角定义找出平面角，然后计算可得；
（3）建立空间直角坐标系，假设存在，利用向量法直接计算可知.
【详解】(1)因为平面，平面
所以，平面平面
又是正三角形，O为AD中点
所以
又平面平面，平面
所以，平面
(2)连接OF，因为E、F、G、O分别是的中点
所以，，所以E、F、G、O四点共面
因为平面，
所以平面
又平面，平面
所以平面与平面夹角的平面角为
又是正三角形，所以

(3)不存在.
由上可知两两垂直，故建立如图所示空间直角坐标系，
设，则
所以，，，
设为平面EFG的法向量，
则，取得
记，则
由，得
解得
故在线段上不存在点M使得直线与平面所成角的大小为

23．已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为.
(1)求椭圆M的方程：
(2)过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，求与的面积之比.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为.用“设而不求法”表示出，.
进而得到，.由，得到三点共线.
所以，即可得到.
【详解】(1)由题设，，所以.
又因为，，所以.
解得，.
所以椭圆的方程为.
(2)由题意可知，直线斜率存在，设直线的方程为.
由得.
设，，则，.
因为轴，所以.
直线方程为，所以.
因为轴，所以.
因为，.
所以





.
所以三点共线.
因为，所以，
所以，
所以.
24．有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值
（Ⅱ）当时，将数列分组如下：
(每组数的个数构成等差数列)．
设前组中所有数之和为，求数列的前项和．
（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．
【答案】（Ⅰ）证明过程见详解； ；（Ⅱ）．
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）先由题意知，根据，
得到，即可证明是公差为的等差数列．
进而可得出结论成立；求出．
（Ⅱ）当时，．将数列分组如下：．按分组规律，第组中有个奇数，
由题意得到．再由错位相减法即可求出..
（Ⅲ）先由（Ⅱ）得，.
将不等式化为．
构造函数．
根据题意即可求出结果．
【详解】（Ⅰ）由题意知.
，
同理，，，…，
．
又因为成等差数列，所以.
故，即是公差为的等差数列．
所以，．
令，则，此时．
（Ⅱ）当时，．
数列分组如下：．
按分组规律，第组中有个奇数，
所以第1组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，
所以前个奇数的和为.
即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．
所以.
.
故

.
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考虑函数．
当时，都有，即．
而，
注意到当时，单调递增，故有.
因此当时，成立，即成立．
所以,满足条件的所有正整数．
【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.