2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期第一次月考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期第一次月考数学试题一、单选题1．化为弧度是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：B.2．若，，则角的终边在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】本题考查三角函数的性质．由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为3．已知，则x等于　　A． B． C． D．【答案】A【分析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．【详解】由题意，可知，可得，即，所以，解得．故选A．【点睛】本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．计算（log54）•（log1625）=（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据换底公式得到原式等于×=×=1.【详解】将对数化为同底的对数（log54）•（log1625）=×=×=1．故选B．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:.5．已知，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两式平方，结合求出，整体代入即可求出的值，根据的范围可以求出的范围，从而确定具体值【详解】因为，所以，因为，所以，，所以故选：A6．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.【详解】由可得，解得：，故选：C.7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】关于的不等式的解集为.①当时，即当时，则有恒成立，合乎题意；②当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.8．已知，则的最小值为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A 二、多选题9．若，则下列不等式中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性质逐个分析判断即可【详解】对于A、B，由，得，即，故错误，正确；对于C，由，得，，所以，故正确；对于D，在不等式两边同乘以负数，可得，故正确．故选：．10．集合也可以写成（       ）A． B．C．或 D．【答案】ABD【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.对于A选项，，故A正确；对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；对于D选项，等价于，故D正确.故选：ABD11．已知，，则的值可能为（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出，，再分四种情况讨论得解.【详解】解：因为，，所以，，则，当，时，上式，当，时，上式，当，时，上式，当时，时，上式，故选：AC．12．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.【详解】关于的不等式的解集为选项正确；且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，则，则，C选项错误；不等式即为，解得选项正确；不等式即为，即，解得或选项正确.故选：. 三、填空题13．已知，则_______.【答案】【分析】直接利用诱导公式计算可得.【详解】解：因为，所以故答案为：.14．______．【答案】3【分析】直接由对数和指数的运算性质计算即可.【详解】．故答案为：3.15．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．【答案】2【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】，扇形AOB的面积为，所以，解得．故答案为：216．若函数在上的最小值为t，若，则正数k的取值范围为______．【答案】【分析】利用基本不等式取等号的条件建立不等式，求出k的范围.【详解】由题意得：，∴，∵函数在上的最小值为t，且，当时，函数取得最小值，∴，∴正数k的取值范围是.故答案为：． 四、解答题17．已知点是角的终边上一点．（1）求；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】（1）先求出，由三角函数的定义可得答案.（2）,将（1）中的结果代入可得答案.【详解】（1）点在角的终边上一点，则 由三角函数的定义可得：（2）18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，．(1)求证：∥平面PCD；(2)求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.【详解】(1)证明：如图所示：取PD的中点E，连接ME，CE，因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；(2)建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面MBC的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面ABCD的一个法向量为：，所以，所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.19．某校为纪念“12.9”运动，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一、高二年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩（满分为100分），绘制成如下所示的频率分布直方图：(1)分别计算高一、高二竞赛成绩在内的人数；(2)学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断竞赛成绩的优秀是否与年级有关？ 非优秀优秀合计高一年级   高二年级   合计  100附：，其中．0.150.100.050.012.0722.7063.8416.635【答案】(1)10人，12人(2)表格见解析，没有【分析】（1）直接根据频率分布直方图即可得结果；（2）根据已知条件完成列联表，再利用公式求解，然后根据临界值表判断即可.【详解】(1)高一年级随机抽出50名学生的竞赛成绩在的人数为（人），高二年级随机抽出50名学生的竞赛成绩在的人数为（人）．(2)完成的2×2列联表为： 非优秀优秀合计高一年级282250高二年级203050合计4852100∵，∴没有90%的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关．20．己知等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)己知数列中，满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中的等式，求解数列的首项及公比可得数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，求解出数列的通项公式，再运用分组求和法求解数列的前n项和.【详解】（1）记等比数列的公比为q，由可知，，，解得，，所以数列的通项公式为．（2）∵，∴．21．已知椭圆的离心率为，F是其右焦点，直线与椭圆交于A，B两点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性可知，，由求得，再利用，，可得答案；（2）设点，， 联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理代入的坐标运算可得，再解不等式可得答案.【详解】(1)设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性可知，，所以，所以，又，，解得，所以椭圆的标准方程为：．(2)设点，，则，，联立直线与椭圆的方程整理得：，所以，，，因为为锐角，所以，所以，整理得：，解得：，或，所以实数的取值范围为：或.22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解【详解】(1)该函数的定义域为，，①当时，恒成立，函数的递增区间为；②当时，令，解得或，所以函数的递增区间为，递减区间为，所以当时，函数的递增区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为．(2)对任意的，都有成立，只需任意的，，①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；②当时，，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；③当时，，在上是减函数，在上是增函数，所以只需即可，而，从而不满足题意；综上①②③可得：实数a的取值范围为．