2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法；故选：B2．A、B、C、D、E五个人并排站在一起，若A、B两人站在一起有（       ）种方法．A．12 B．24 C．48 D．72【答案】C【分析】由排列问题中的捆绑法即可求得A、B两人站在一起的方法数.【详解】把A、B二人看成一个整体，再与其余三人全排列. 故A、B两人站在一起的方法数为故选：C．3．若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（       ）A．132 B． C． D．66【答案】D【分析】利用二项式系数的单调性求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得结果.【详解】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，，所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，涉及二项式系数的单调性，属综合基础题.4．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为，两部分都及格概率为，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件概率公式计算即可.【详解】选填题及格记为事件，，两部分都及格概率记为事件，，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率.故选：C.5．随机变量X的分布列如下：若，则的值是（       ）X01PaA． B．5 C． D．【答案】B【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望与方差，进而求得随机变量的方差，得到答案.【详解】由题可得，∴，∴，∴，又因为，所以.故选：B.6．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（    ）A．-40 B．-20 C．20 D．40【答案】D【分析】【详解】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，故选D7．某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（       ）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】利用插空法即得.【详解】因为2次红灯不相邻，所以在4次绿灯所形成的5个空插入红灯共有种.故选：B.8．若，则=（     ）A．244 B．1 C． D．【答案】D【分析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.【详解】根据，令时，整理得：令x = 2时，整理得:由①+②得，，所以.故选：D.9．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先计算全部无重复数字的三位数情况和奇数的情况，再利用古典概型公式计算概率即可.【详解】先计算全部无重复数字的三位数情况：若选2，则有个，若选0，则有个，所以共有个无重复数字的三位数.再计算奇数的情况：若选0，则有个奇数，若选2，则有个，所以共有个，奇数的概率为.故选：B10．设，则除以7的余数为（       ）A．0或5 B．1或3 C．4或6 D．0或3【答案】A【分析】由求解.【详解】，，，故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为除以7的余数，即为0或5，故选：A11．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（       ）A．72种 B．36种 C．12种 D．60种【答案】A【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计故选：A．12．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（       ）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故说法正确的个数是2.故选：B. 二、填空题13．的展开式中二项式系数之和为64，则的系数为_______．【答案】60【分析】先求得实数n的值，再依据二项展开式通项公式即可求得的系数.【详解】的展开式中二项式系数之和为64，则，解之得则的展开式的通项公式为令，则，即的系数为60.故答案为：6014．某校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少有1个小组去，至多有两个小组去，则甲、乙两个小组去同一个街道的概率为______．【答案】（或0.2）【分析】由题可得所有的结果及甲、乙两个小组去同一个街道的结果，再利用古典概型概率公式即得.【详解】由题可知先分组后排列共有种方法，其中甲、乙两个小组去同一个街道有种方法，所以甲、乙两个小组去同一个街道的概率为.故答案为：.15．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有_____种【答案】67【分析】根据特殊元素特殊处理的原则，以丙进行分类，排完丙后，由甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，还要进行分类，根据分类计数原理可得.【详解】因为丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类：第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有种，共计种；第二类，当丙不当物理课代表时，分四类：①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有种种，②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种，③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有种，共计种，④丙为化学课代表时，同③的选法一样有种，根据分类计数原理得，不同的选法共有种.故答案为：67.三、双空题16．对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为、、，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是________．【答案】     72%     25%【分析】依据统计数据的平均数求法即可求得这款新药对“新冠病毒”的总体有效率；依据条件概率即可求得已知这款新药对“新冠病毒”有效条件下该药对“奥密克戎毒株”的有效率.【详解】(1) (2) 故答案为：72%；25% 四、解答题17．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与P，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为．(1)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【详解】(1)记“这四次投球中至少一次命中”为事件C，则“这四次投球均未命中”是事件C的对立事件，则 (2)依题意，，则记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，，，，则ξ的分布列为：ξ012P18．在直三棱柱中，，E，F分别为线段的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的大小为，求三棱柱的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法去证明平面；（2）先求得的长度，再去求三棱柱的体积．【详解】(1)因为，所以，所以，因为三棱柱为直三棱柱，所以，，以为原点，以所在的直线的分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，因为E，F分别为线段，的中点，所以，所以，，所以，所以 ，所以，又因为，所以平面.(2)设平面的法向量为，平面的法向量为，因为，所以，，令，则，因为二面角的大小为，所以，所以，化简得，所以，即的长为，则19．已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】(1)解：因为，当时，，解得当时，，所以，即.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.(2)解：由（1）知，则，所以①②，①-②得.所以数列的前项和20．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了了解学生在越野滑轮和早地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；(2)现有一名早地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；(3)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降､转弯､八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导后，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.4.求在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”的概率.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率；（2）的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出；（3）甲同学总考核成绩为“优”，分甲同学两项为优和三项为优，从而可得出答案.【详解】(1)解：记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为种，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以；(2)解：的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所，，，．的分布列为：012；(3)解：甲同学总考核成绩为“优”的概率为.21．已知函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)若且，求证：．【答案】(1)减区间，增区间，极小值3，(2)证明见解析【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；（2）构造新函数利用函数单调性去证明即可.【详解】(1)，则由得，由得，即减区间为，增区间为，在时取得极小值，无极大值.(2)不妨设且，则，，， 令，则，则当时，单调递增；当时，单调递减由，得则令，则令，则即为增函数，又，则在上恒成立.则恒成立，则，又时单调递减，，则，故22．已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且（O为坐标原点）的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线与的斜率之积为．①证明：直线l过定点．②求点P到直线l距离的最大值．【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）由题可得，即得；（2）设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，由题意可得参数的值，即求出直线过的定点的坐标，进而求出到直线的距离的最大值．【详解】(1)由题意可得，所以由题意可得且，解得，，所以椭圆的方程为：；(2)设点，，由（1）易求得．当直线的斜率不存在时，设其方程为（且），联立，得因为所以，即．解得或（舍），此时点到直线的距离为；当直线的斜率存在时，设其方程为，联立消去并整理得，则所以，即，所以，即，整理得．即，所以或．若，则直线的方程为．所以直线过定点，不合题意．若，则直线的方程为，所以直线过定点，又因为，所以点在椭圆内，设点到直线的距离为，所以．所以点到直线距离的最大值为，综上，直线l过定点，点到直线距离的最大值为.