2021-2022学年宁夏银川市第二中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年宁夏银川市第二中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的乘法运算展开即可．

【详解】解：

故选D.

【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2．点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用直角坐标和极坐标互化公式直接求解．

【详解】∵点P的直角坐标为（﹣，），

∴ρ==2，

tanθ==﹣1，

∴θ=．

∴点P的极坐标为（2，）．

故选B．

【点睛】本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．

3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法中不正确的是（　　）

A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为r＝-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

【答案】C

【分析】理解回归分析中样本中心、残差、相关指数R2、相关系数的含义，即可判断各选项的正误.

【详解】A：样本中心点在回归直线上，正确；

B：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，

C：R2越大拟合效果越好，不正确，

D：当的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确.

故选：C.

4．用反证法证明命题：“若、，能被5整除，则、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（       ）

A．、都能被5整除 B．、都不能被5整除

C．、有一个能被5整除 D．、有一个不能被5整除

【答案】B

【分析】本题可根据反证法的性质得出结果.

【详解】由命题和反证法易知，

假设的内容是“、都不能被5整除”，

故选：B.

5．在平面直角坐标系中，参数方程 （是参数）表示的曲线是（       ）

A．一条直线 B．一条射线 C．一个圆 D．一条线段

【答案】B

【分析】联立参数方程消去参数 ，得到直线方程，但注意的范围，导致最终结果为射线.

【详解】因为，

所以，

联立得，，

即，

但是注意 ，

所以 ，

所以，

所以,

即方程确定的直线只有半条，

参数方程 （是参数）表示的曲线是一条射线，

故选：B.

6．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（       ）

A． B． C．3 D．2

【答案】B

【分析】先计算出的值，然后求得估计值，最后计算出残差.

【详解】令，则，

，，

所以，

所以，

当时，，

所以残差为.

故选：B

【点睛】非线性回归要先转化为线性回归来求解，回归直线方程过样本中心点.

7．可以将椭圆变为圆的伸缩变换是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】圆x2+y2＝4化为，设伸缩变换为 ，代入椭圆方程，对应项系数相等，求出 即可得到该伸缩变换．

【详解】解：圆x2+y2＝4化为，

令代入圆方程可得，即 ，

由，故 ， ，所以．

故选D．

【点睛】本题考查了椭圆化为圆的伸缩变换公式，考查了计算能力，属于基础题．

8．在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心(1,0)与点(1，)之间的距离为.

点睛：解决极坐标和参数方程下的解析几何问题，一般可把极坐标方程为化直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，然后利用解析几何知识求解．

9．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设2个人分别在x层，y层离开，则记为(x，y)．基本事件构成集合Ω＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，…，(2，10)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，…，(3，10)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，…，(10，10)}，所以除了(2，2)，(3，3)，(4，4)，…，(10，10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P＝

故答案为D．

点睛：本题考查的知识点是古典概型，其中计算出满足条件的基本事件个数及基本事件的总个数是解答本题的关键，所求概率是满足条件的基本事件个数除以总的事件个数．

10．已知实数满足则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件把转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而可转化为即可看到圆上的点到直线距离的最小值.

【详解】，

，即圆心，半径，

，

可看到圆上的点到直线距离，

圆上的点到直线距离的最小值为

圆心到直线距离减去半径即，

，

圆上的点到直线距离的最小值为，

的最小值为

故选：A

【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.

11．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角的大小，再考虑对应的射线所形成的角的大小，从而可求概率.

【详解】

如图，在边上取一点，使得，则.

以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角为，

以为起点作射线交边于点且时所有的射线形成的角为，

故时对应的概率为.

故选：B.

12．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.

【详解】由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱

在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥

当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为

则，即

所以截面面积为

把代入椭圆方程，可求得

所以橄榄球形状几何体的截面面积为

由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为

故选:C

【点睛】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.

二、填空题

13．从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________．

【答案】

【分析】将2名男同学分别记为，1名女同学分别记为，写出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案.

【详解】将2名男同学分别记为，1名女同学分别记为.所有可能情况有：

，，，共3种.合题意的有，，2种.所以.

故答案为

【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.

14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4.则c=___________.

【答案】

【分析】模型两边取对数，再化简，利用对应系数相等，即可求得值.

【详解】，即，

所以，.

故答案为：

15．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前项中奇数的个数为_______．

【答案】1348

【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果.

【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，

又，故该数列前项有个奇数.

故答案为：.

16．若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据复数的几何意义可得复数所对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆形，结合两点距离公式即可求解结果．

【详解】设，由于，则，

所以复数所对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆形，

又因为，所以，

故，，

所以数的取值范围是，

故答案为．

三、解答题

17．已知向量与实轴正向的夹角为，向量对应的复数的模为1，求.

【答案】或

【分析】由题，与实轴正向的夹角为，故可能在第一象限或第四象限，设出的坐标，结合对应的复数的模为1列式，即可求解.

【详解】由题，向量与实轴正向的夹角为，故在第一象限或第四象限，

设点的坐标为，则，，又，

故可解得或，所以或.

18．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

【答案】（1）1；（2），.

【解析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

19．在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C的参数方程为（为参数）

求直线L和曲线C的普通方程；

在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值

【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.

【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，

∴直线L的普通方程为：，

∵曲线C的参数方程为（α为参数），

∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．

（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：

，

当时，即，dmin=2，

此时点Q坐标为．

【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条件.

20．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的中位数；

（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4

【分析】（1）由面积和为1，可解得x的值；

（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；

（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．

【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．

（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．

（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2

满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，

记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，

基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），

（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，

利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．

【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．

21．2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请将上述列联表补充完整；

（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

附：

【答案】（1）列联表见解析；（2）有把握.

【分析】（1）根据题意分析数据，完成列联表；

（2）套公式计算，对照参数下结论即可.

【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

所以喜欢游泳的学生人数为.

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

（2）因为，

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

22．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）曲线：分别交直线和曲线于点，，求的最大值及相应的值．

【答案】（1）；；（2）；.

【分析】（1）消去参数可化参数方程为普通方程，由公式可化直角坐标方程为极坐标方程；

（2）把代入直线和曲线的极坐标方程得两点的极径，计算，利用三角函数知识可得最大值．

【详解】（1）由题意，直线的直角坐标方程为：，

∴直线的极坐标方程为：，∵曲线的直角坐标方程：，曲线的极坐标方程为：．

（2）由题意设：，，由（1）得，，

∴，

∵，∴，

∴当，即时，，

此时取最大值．

【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标的应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．