2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期3月月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．函数的定义域是（       ）

A．（-1，1） B．

C．（0，1） D．

【答案】B

【分析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.

【详解】要使有意义，则，所以函数的定义域是.

故选：B

2．函数，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】首先求出函数的导函数，再代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故选：B

3．直线的倾斜角大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.

【详解】由直线可得，

所以，

设倾斜角为，则

因为

所以

故选：B

4．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（       ）

A．6 B．9 C．14 D．10

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义，可求得答案.

【详解】由可知： ，

由是椭圆上的一点，

则点到两焦点的距离之和为 ，

故选：A

5．下列函数中，在上为增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数和常见函数的单调性逐一判断即可.

【详解】由可得，当时，，单调递增，故A满足，

由可得，当时，，单调递减，故B不满足，

的增区间为，故C不满足题意，

的增区间为，故D不满足题意，

故选：A

6．若直线是圆的一条对称轴，则的值为（       ）

A． B．-1 C．2 D．1

【答案】D

【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可求出的值

【详解】由，得，所以圆心为，

因为直线是圆的一条对称轴，

所以直线过圆心，

所以，得，

故选：D

7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（       ）

A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数

C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点

【答案】D

【分析】根据导函数与原函数的关系可求解.

【详解】对于A，在区间，，故A不正确；

对于B，在区间，，故B不正确；

对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.

故选：D

8．抛物线的准线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程，直接写出准线方程即可.

【详解】因为，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为.

故选：C.

9．曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】由，有．

曲线在点处的切线方程为，整理为．

故选：A

10．函数在上是单调递增函数，则的最大值等于（       ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．

【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数

∴在[1，+∞）上恒成立．

即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立，

∴a≤3，∴a的最大值是3

故选：B．

11．已知函数，则（       ）

A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值

C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值

【答案】A

【分析】利用导数来求得的极值.

【详解】的定义域为，

，

在递增；在递减，

所以的极大值为，没有极小值.

故选：A

12．已知，，的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】设是函数图象上的点，是函数上的点，把看成，利用几何法判断出当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值，即可求解.

【详解】可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，.

当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.

令，解得或，（舍去），又，

所以切点到直线的距离即为的最小值.

所以，所以.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

距离的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求最值；

（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

二、填空题

13．设函数，若，则___________.

【答案】2

【分析】根据函数在处的导数的定义得到方程，即可求出参数的值

【详解】解：因为，所以，

且，∴.

故答案为：

14．某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表：

根据上表可得回归直线方程为.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年．

【答案】9

【详解】因，

故代入回归方程可得，

所以线性回归方程为，

当时，解得.

故答案为：．

15．函数的最大值为______．

【答案】.

【分析】显然需要求导，判断函数的单调性即可求出最大值.

【详解】，，即函数是单调递增的，

∴当时取得最大值.

故答案为：.

16．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【分析】采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.

【详解】令

则，

令，

则由，

在上，递减，在上，递增，

且，，.

，，

，

作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据导数的加法运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可；

（2）根据导数的加法和乘法的运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可.

【详解】(1)；

(2).

18．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：

（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）

附：线性回归方程中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，.

【答案】（1）；（2）单价应该定为10元.

【分析】（1）由表中数据，求得的值，再根据公式，分别求得的值，即可求得回归直线方程；

（2）设定价为元，得出利润函数，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由表中数据，，

，

则，

所以，

所以关于的线性回归方程为.

 （2）设定价为元，则利润函数为，其中，

则，可得对称轴方程为（元），

为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.

【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及其应用，其中解答中熟练利用最小二乘法求得回归系数的值，得出回归直线的方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

19．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最小值为0，最大值为4

【分析】（1）利用导数求得切线方程.

（2）结合导数求得在区间上的最值.

【详解】(1)，

所以曲线在点处的切线方程为.

(2)，

所以在区间递增；在区间递减，

，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

20．数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：

(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；

(2)根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析

(2)没有

【分析】（1）根据题中数据，填写列联表即可；

（2）由，根据列联表数据计算，与临界值比较即可

【详解】(1)完成的列联表如下：

(2)根据列联表得：，

故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．

21．己知圆，直线．

(1)求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由直线过定点，只需判断定点在圆内部，即可证结论.

（2）由点线距离公式求弦心距，再利用半径、弦心距、弦长的几何关系求弦长即可.

【详解】(1)直线恒过定点，又，

所以点在圆的内部，

所以直线与圆总有两个不同的交点，得证.

(2)由题设，，又的圆心为，半径为，

所以到直线的距离，

所以所求弦长为．

22．已知函数

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.

【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值

(2)3

【分析】（1）由导数分析单调性后求解

（2）参变分离后，转化为最值问题求解

【详解】(1)函数的定义域为，

由，令可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴   函数的递增区间为，递减区间为，

函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值

(2)当时，不等式可化为，

设，由已知可得，

又，

令，则，

∴   在上为增函数，又，，

∴ 存在，使得，即

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴   ，

∴   ，

∴ m的最大值为3.