2021-2022学年河南省信阳市信阳高级中学高一上学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省信阳市信阳高级中学高一上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式求解

【详解】，

故选：B

2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，的定义域为，

而，但，

故在定义域上不是增函数，故A错误.

对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，

故B错误.

对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.

对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，

而，故为奇函数，符合.

故选：D.

3．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式，求出与，进而求出交集.

【详解】，即，解得：，故

解得：，又，故，故.

故选：C

4．设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数与幂函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.

【详解】根据对数函数的图象与性质，可得，即，

由，即，

又由，即 ，所以.

故选：D.

5．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求得，再结合正切的倍角公式，求得的值，即可求解.

【详解】由，可得，解得，

又由，所以.

故选：A.

6．对于函数，有以下几个命题

①的图象关于点对称，       ②在区间递增

③的图象关于直线对称，             ④最小正周期是

则上述命题中真命题的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】先通过辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.

【详解】由题意，，函数周期，④正确；

，①错误；

，③错误；

由，②正确.

故选：C.

7．若实数，满足，则关于的函数图象的大致形状是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用特殊值和，分别得到的值，利用排除法确定答案.

【详解】实数，满足，

当时，，得，

所以排除选项C、D，

当时，，得，

所以排除选项A，

故选：B.

【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.

8．为了得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位

C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位

【答案】B

【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，

∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．

故选B．

【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．

9．已知函数，则函数（       ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最大值 D．没有最值

【答案】B

【分析】换元法后用基本不等式进行求解.

【详解】令，则，

因为，，故，

当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，

由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.

故选：B

10．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（     ）

A．  B．  C．  D．2

【答案】B

【分析】将写成分段函数，画出函数图象数形结合，即可求得结果.

【详解】当x≥0时，，

当＜0时，，

作出函数的图象如图：

当时，由=，解得=2．

当时，．

当＜0时，由,

即，

解得=，

∴此时=，

∵[]上的最小值为，最大值为2，

∴2，，

∴的最大值为，

故选：B．

【点睛】本题考查含绝对值的二次型函数的最值，涉及图象的绘制，以及数形结合，属综合基础题.

11．设常数使方程在区间上恰有三个解且，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，结合图象可得则﹣1＜m＜0，故排除C，D，再分别令m=﹣，m=﹣，求出x1，x2，x3，验证x22=x1•x3是否成立；

【详解】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，方程cosx=m在区间（，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣1＜m＜0，故排除C，D，

当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），

解得x1=π，x2=π，x3=π，

则x22=π2≠x1•x3=π2，故A错误，

当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），

解得x1=π，x2=π，x3=π，

则x22=π2=x1•x3=π2，故B正确，

故选B．

【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想，属于中档题.

12．已知，若函数恰有两个零点、（），那么一定有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造两个函数和，根据两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】根据题意，构造两个函数和，

则两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，

如图所示，结合图象可得.

故选：A.

二、填空题

13．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．

【答案】-1

【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．

【详解】解：∵幂函数，

∴m2﹣m﹣1=1，

解得m=2，或m=﹣1；

又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，

∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；

当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；

综上，m=﹣1，

故答案为﹣1

【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．

14．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

【答案】

【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

15．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】令，由题设易知在上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.

【详解】由题设，令，而为增函数，

∴要使在上是增函数，即在上为增函数，

∴或，可得或，

∴的取值范围是.

故答案为：

16．若函数在区间上没有最值，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间上没有最值可知，进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.

【详解】函数，

由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，

解得，

由题意可知，在区间上没有最值，

则，，

所以或，

因为，解得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，此时无解.

综上可得或，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，由三角函数的最值情况求参数，注意解不等式时的特殊值取法，属于难题.

三、解答题

17．已知，．

(1)求和的值．

(2)求以及的值．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解；

（2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，准确运算，即可求解.

(1)

因为，根据三角函数的基本关系式，可得，

又因为，所以，且.

(2)

由，和

根据两角差的正弦公式，可得，

再结合两角和的正切公式，可得．

18．已知为二次函数，且．

(1)求的表达式；

(2)设，其中，m为常数且，求函数的最值．

【答案】(1)

(2)；．

【分析】（1）利用待定系数法可求的表达式；

（2）利用换元法结合二次函数的单调性可求函数的最值．

(1)

设，

因为，

所以

整理的，

故有，即，所以.

(2)

，设，故

又，

∵，所以，在为增函数，

∴即时，；

即时，．

19．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)求函数f(x)单调递增区间．

【答案】（1）最小正周期为T＝π，最大值为（2），k∈Z

【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）

函数的最小正周期为 ，

函数的最大值为

（II）由

得

函数的 单调递增区间为

20．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形PQRS的面积为.

（1）用a，表示和；

（2）当a为定值，变化时，求的最小值，及此时的值.

【答案】（1）；（2）当时，的值最小，最小值为

【解析】（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；

（2）根据题意，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值.

【详解】（1）在中，，

所以；

设正方形的边长为x，则，，

由，得，

解得；

所以；

（2）

，

令，因为，

所以，则，

所以；

设，

根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，

因此当时，有最小值，

此时，解得；

所以当时，的值最小，最小值为.

【点睛】本题考查倍角公式的使用，三角函数在锐角三角形中的应用，以及利用对勾函数的单调性求函数的最值，涉及换元法，属综合性中档题.

21．已知函数是偶函数（其中a，b是常数），且它的值域为．

(1)求的解析式；

(2)若函数是定义在R上的奇函数，且时，，而函数满足对任意的，有恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义结合题意可求出，再由函数的值域为可求出，从而可求出函数解析式，

（2）由题意求出的解析式，判断出当时，，从而将问题转化为满足对任意的恒成立，设，则对恒成立，然后利用二次函数的性质求解

(1)

由题

∵是偶函数，∴，∴

∴或，

又∵的值域为，∴，且

∴，∴或（舍去），

∴；

(2)

若函数是定义在R上的奇函数，且时，，

由（1）知，∴时，；

时，；当时，，

显然时，，若，则

又满足对任意的，有恒成立，

∴对任意的恒成立，

即满足对任意的恒成立，

即，设，

则对恒成立，

设，

∵函数的图像开口向上，

∴只需，

∴，

∴所求m的取值范围是.

22．已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）当a＝1时，利用对数函数的单调性，直接解不等式f（x）1即可；

（2）化简关于x的方程f（x）+2x＝0，通过分离变量推出a的表达式，通过解集中恰有两个元素，利用二次函数的性质，即可求a的取值范围；

（3）在R上单调递减利用复合函数的单调性，求解函数的最值，∴令，化简不等式，转化为求解不等式的最大值，然后求得a的范围．

【详解】（1）当时，，

∴，解得，

∴原不等式的解集为.

（2）方程，

即为，

∴，

∴，

令，则，

由题意得方程在上只有两解，

令, ,

结合图象可得，当时，直线和函数的图象只有两个公共点，

即方程只有两个解．

∴实数的范围.

（3）∵函数在上单调递减，

∴函数在定义域内单调递减，

∴函数在区间上的最大值为，

最小值为，

∴，

由题意得，

∴恒成立，

令，

∴对，恒成立，

∵在上单调递增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴实数的取值范围是.

【点睛】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及指对复合型函数的最值的求法，利用换元法将指对复合型函数转化为二次函数求最值是关键，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题．