2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期

期末数学试题

一、单选题

1．条件p：|x|>x，条件q：，则p是q的（       ）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【分析】解不等式得到p：，q：或，根据推出关系得到答案.

【详解】由得：，所以p：，而，解得：或，故q：或，因为或，且或，故p是q的充分不必要条件

故答案为：D

2．已知函数可表示为（       ）

则下列结论正确的是（       ）A． B．的值域是

C．的值域是 D．在区间上单调递增

【答案】B

【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.

【详解】A. ，所以该选项错误；

B. 由表得的值域是，所以该选项正确；

C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；

D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.

故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.

3．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（       ）

A．10 B．30 C．100 D．1000

【答案】D

【解析】根据题意，把转化为对数运算即可计算．

【详解】由题意可得：

故选：D

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

4．已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出函数的图象，根据题意，得到，结合图象求出的范围，即可得出结果.

【详解】假设，

作出的图象如下；

由，所以，则

令，所以，

由，所以，

所以，故.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

5．函数的定义域为_____________．

【答案】

【分析】令解得答案即可.

【详解】令.

故答案为：.

6．已知，则___________.

【答案】

【分析】根据反函数定义求解.

【详解】因为，所以，即，故.

故答案为：

7．已知集合A={2，log2m}，B={m，n}(m，n∈R)，且，则A∪B=___________.

【答案】

【分析】根据条件得到，解出，进而得到.

【详解】因为，所以且，所以，解得：，则，，所以.

故答案为：

8．已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.

【答案】

【分析】把代入不等式即可求解.

【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是.

故答案为：

9．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.

【答案】

【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.

【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.

故答案为：

10．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

【答案】

【详解】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（2，3）对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；

可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．

可得b＜a＜c

故答案为b＜a＜c．

11．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

【答案】

【分析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.

【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标

故答案为：

12．已知函数，则函数的值域为______．

【答案】

【分析】先求的的单调性和值域，然后代入中求得函数的值域.

【详解】由于为上的增函数，而，，即，对，由于为增函数，故，即函数的值域为，也即.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域的求法，考查复合函数值域的求法.属于中档题.

13．已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，得到函数f（x）在上值域是g（x）在上值域的子集，然后利用求函数值域之间的关系列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．

【详解】∵，

∴f（0）≤f（x）≤f（1），

即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，

若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，

则函数f（x）在上值域是g（x）在上值域A的子集，

即B⊆A

①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，不满足条件．

②当a≠0时，在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，]，即A＝[﹣+3a，]，

则 ，

∴

综上，实数a的取值范围是．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．

14．已知，g(x)=x+t，设，若当x为正整数时，恒有h(5)≤h(x)，则实数t的取值范围是_____________.

【答案】[-5，-3]

【详解】作出的图象，如图，

设与的交点横坐标为，

则在时，总有，

所以当时，有，，

由，得；

当当时，有，，

由，得，

综上，，

故答案为：.

三、解答题

15．已知，，且.

(1)求实数a的值；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数关系求解或，结合角所在象限求出，从而得到答案；（2）在第一问的基础上，得到正弦和余弦，进而求出正切和余弦，利用诱导公式求出答案.

(1)

由题意得：，解得：或

因为，所以，，解得：，综上：.

(2)

由（1）得：，，故，，故

16．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.

(1)当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地全程在高速公路上行驶50km到B地，若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?

【答案】(1)

；

(2)这辆车在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，

最少为.

【分析】（1）根据当时，无意义，以及是个减函数，可判断选择，然后利用待定系数法列方程求解即可；

（2）利用对勾函数的性质可判断在高速路上的行驶速度为时耗电最少，从而可得答案.

(1)

对于，当时，它无意义，所以不合题意；

对于，它显然是个减函数，这与矛盾；

故选择.

根据提供的数据，有

，解得，

当时，.

(2)

高速路段长为，所用时间为，

所耗电量为

，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以；

故当这辆车在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，

最少为.

17．设a∈R，是定义在R上的奇函数，且.

(1)试求的反函数的解析式及的定义域；

(2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据函数的奇偶性求出的值，结合反函数的概念求出，利用指数函数的性质求出的取值范围即可；

(2)由对数函数的概念可得，将原问题转化为在恒成立，

结合二次函数的性质即可得出结果.

(1)

因为为R上的奇函数，所以，

即，解得，

所以，为R上的奇函数，所以符合题意.

有

令，则，得，

由得，

即，；

(2)

由，得，

由恒成立可得恒成立，

即在恒成立，

所以，即，

因为，所以，解得.

所以k的取值范围是.

18．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).

(1)若满足性质P(2)，且，求的值；

(2)若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；

(3)若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.

【答案】(1)0；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；

(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，

同时使得函数满足性质和；

（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.

(1)

因为满足性质，

所以对于任意的x，恒成立.

又因为，

所以，，

由可得，

所以，；

(2)

若正数满足，等价于，

记，

显然，，

因为，所以，，即.

因为的图像连续不断，

所以存在，使得，

因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.

(3)

若，则1即为零点；

因为，若，则，矛盾，故，

若，则，，，

可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

若，则由，可得，

由，可得，

由，可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

综上，函数存在零点.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.