2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一（实验班）上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一(实验班)上学期期末数学试题

一、单选题

1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理进行求解.

【详解】由正弦定理得：，即，解得：.

故选：A

2．函数的定义域为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】列出不等式组，求出解集，即为定义域.

【详解】由题意得：，解得：，故定义域为

故选：C

3．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用基本不等式先求出的最小值为3，则.

【详解】当时，，

，

当且仅当，即时等号成立，

.

故选：C.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

4．已知在中，，那么的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】 ，不妨设，,

则 ，选A.

5．已知向量，且，则实数=

A． B．0 C．3 D．

【答案】C

【解析】【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.

【解析】向量的坐标运算.

6．设是等差数列的前项和,若,则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，，选A.

7．设函数的图象为，下列结论中正确的是（       ）．

A．函数的最小正周期是

B．图象关于点对称

C．图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到

D．函数在区间上是增函数

【答案】B

【分析】直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可.

【详解】函数的最小正周期是；

因为，所以图象关于点对称；

图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到；

函数的单调递增区间是，单调递减区间是，取，得函数的一个单调递增区间是，一个单调递减区间是，故在区间上不是单调递增的，而是先递增后递减．

故选：B.

【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查数学运算能力，是中档题.

8．函数的最小正周期为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析:将函数进行化简即可

详解：由已知得

的最小正周期

故选C.

点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题

9．已知，则下列选项中错误的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分和两类情况讨论即可得答案.

【详解】解：∵ ，

∴ 当时，，即：，

∴ ，，，，，故A，B，C正确，D错误；

同理，当 时，，即：，

∴，，，，，故A，B，C正确，D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，考查分类讨论思想，是基础题.

10．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（       ）

A．北偏东； B．北偏东；

C．北偏东； D．北偏东；

【答案】C

【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.

【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.

故选：C

11．使奇函数f（x）＝sin（2x+θ）在[，0]上递减的θ的值为（　　　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用两角和的正弦公式结合辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）为奇函数，求出（k∈z），再结合函数f（x）在[，0]上递减，即可求出．

【详解】解：f（x）＝sin（2x+θ）2sin（2x+θ），

∵函数f（x）为奇函数，

∴f（0）＝0，∴2sin（θ）＝0，

∴θkπ（k∈z），

∴（k∈z），

又∵函数f（x）在[，0]上递减，

∴当时，2x+θπ，函数f（x）＝2sin（2x+θ）单调递减，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简三角函数，以及正弦函数的图象和性质，是基础题．

12．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦定理可求出，然后在中利用正弦定理求解

【详解】解：设，则，

在中，由余弦定理可得，，

所以 ，

在中，由正弦定理得，，

则 ，

所以，

在中，由正弦定理得，，则

，

故选：D

【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.

13．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于

A．－ B． C．－ D．

【答案】D

【详解】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，

∴sin 2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，

∴sin(α＋β)＝，

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)

＝＝.

14．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【详解】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.

详解：

三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A.

点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.

二、填空题

15．不等式的解集是__________．

【答案】

【详解】解: ,;,由符号法则得,;不等式的解集为.

16．设,则________.

【答案】

【解析】利用诱导公式求得，再将所求式子利用诱导公式，化成关于的表达式，进而求得答案.

【详解】∵,

∴原式.

故答案为：.

【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

17．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.

【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，取最小值为.

【点睛】函数的性质

（1）.

（2）周期

（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，

（4）由求增区间；由求减区间.

18．如图，在梯形中，，，，若，则________．

【答案】

【分析】根据题意，得到，求出，再由向量数量积的运算法则，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以，

因为，，，

所以，化简得，

故.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.

19．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间上递增；

③在上有4个零点；

④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号__________.

【答案】①④

【分析】①定义法判断函数的奇偶性；②判断出于在上单调递减，从而求出在的单调性；③先求出当时，的零点个数，结合函数奇偶性得到答案；④求出，，则，且等号能够取到，故正确.

【详解】定义域为R，，故是偶函数，①正确；

在上单调递减，在上单调递减，故在区间上递减，②错误；

当时，，当或时，，结合函数是偶函数，故时，，故在上有3个零点，③错误；

，，则，且存在时，，综上：的最大值为2，④正确.

故答案为：①④

三、双空题

20．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

【答案】         

【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.

【详解】，

，即，

，

则，

为钝角，，

，故.

故答案为，.

【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.

四、解答题

21．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

22．已知向量，，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为．

1求函数的单调增区间；

2将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得的单调增区间；（2）由题意根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用定义域和单调性，求得函数的值域．

【详解】（1）由题意可得

由题意知：              

由

解得：

的单调增区间为

（2）由题意，把的图象向左平移个单位，得到

再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到

函数的值域为

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．

23．已知点为坐标原点，函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若A为的内角，，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到，进而求出最小正周期；

（2）利用余弦定理求出，使用基本不等式求出，进而得到周长的最大值.

(1)

故的最小正周期，

(2)

，解得：，而，故，故，所以；

又，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理得：，所以，又，故，

解得：，当且仅当时等号成立，

故，即周长的最大值为.

24．某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形､面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为元，经讨论有两种方案：

（1）利用旧墙的一段米为矩形厂房一面的边长；

（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长.

问如何利用旧墙，即为多少米时，建造费用最省？（1）､（2）两种方案哪个更好？

【答案】采用第（1）种方案，利用旧墙米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为元.

【分析】以建造总费用为目标函数，把方案（1）和（2）的函数关系式求出来，通过函数求最小值来解决问题

【详解】利用旧墙的一面矩形边长为x米，则矩形的另一面边长为米，

方案（1）：利用旧墙的一段x米，（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为元，将剩余旧墙拆得的材料建设新墙的费用为元，其余建新墙的费用为元，故总费用为，利用基本不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立，即；

方案（2）若利用旧墙的一面矩形边长，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用，设，则

，因为，所以，，从而，所以函数在上为增函数，故当时，.

综上所述，采用第（1）种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为元.