2021-2022学年四川省绵阳南山中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳南山中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．等差数列中，若，，则（       ）

A．8 B．6 C． D．

【答案】A

【分析】根据和求出公差，再根据等差数列的通项公式可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

所以，即，

所以.

故选：A

2．已知，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直的坐标表示求解

【详解】由题意得，得

故选：C

3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（       ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【分析】根据正弦定理可求出结果.

【详解】设外接圆半径为，

根据正弦定理可得，

所以，即外接圆半径为.

故选：D

4．已知向量，，若，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用平面向量共线的性质求解即可..

【详解】由已知得，，

∵∥，

∴，解得，

故选：

5．在中，已知，则该三角形的形状为（       ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【答案】C

【分析】根据正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可得结果.

【详解】因为，由正弦定理可得，

由余弦定理得，

因为，所以为钝角，即该三角形的形状为钝角三角形，

故选：C.

6．设a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理得到，确定B为锐角，利用同角三角函数的平方关系求出结果.

【详解】因为，所以由正弦定理得，则，又因为，所以，所以，因为，所以，所以B为锐角，故．

故选：C

7．设等差数列的前n项和为，且，则（       ）

A．70 B．35 C．25 D．20

【答案】B

【分析】设等差数列的公差为，依题意可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；

【详解】解：设等差数列的公差为，因为，即，即，所以；

故选：B

8．中，，AC=2，，则在方向上的投影为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理求出的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.

【详解】由余弦定理可得，即，解得，

因此，则在方向上的投影为.

故选：B

9．在△中，AB边上的高为CD，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件可得，再由及向量加法的几何意义即可得结果.

【详解】

由题设，△△△且，则，

所以.

故选：D

10．在长方形中，已知，，，则的值是（       ）

A． B．22 C．13 D．

【答案】C

【分析】将目标向量用基底表达，利用数量积的运算律即可求得结果.

【详解】因为，，

故

.

故选：C.

11．已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可．

【详解】解：因为，所以，所以，又，

数列是以1为首项，4为公差的等差数列．

所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；

故选：C

12．已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二   设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.

【详解】解法一   由题可得，，

所以要求的最小值，需求的最小值.

因为，与的夹角为，

所以的最小值为，

所以，

即的最小值为，

解法二   如图，

设，，，则，.

由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，

连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.

由正弦定理得：，

所以，

故的最小值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据与的夹角为，由的最小值为而得解.

二、填空题

13．已知点，，则______．

【答案】

【分析】根据坐标写出向量，根据向量的模的求法求出.

【详解】，

，

故答案为：.

14．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离()海里处有一个小岛C．则小岛A到小岛C的距离为______海里．

【答案】

【分析】根据题意求出 再由余弦定理即可求解.

【详解】由余弦定理得，

所以，

所以

解得，

所以（海里）

故答案为：.

15．数列的前n项和，则它的通项公式是为______．

【答案】

【分析】根据的关系，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】当时，，

当时，，

当时，满足上式.

故.

故答案为：.

16．在锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得，结合△为锐角三角形，可得及角A的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求的范围.

【详解】由题设，，而，

所以，又，

所以，且△为锐角三角形，则，可得，

而.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A、C的关系及A的范围，最后由边角关系求范围.

三、解答题

17．已知平面内两个不共线的向量，.

（1）求；

（2）求与的夹角.

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；

（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．

【详解】解：（1），

，

；

（2），

，且，

与的夹角为．

【点睛】对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．

18．设等差数列的前n项和为．

(1)已知，公差，求．

(2)已知，，求和．

【答案】(1)-380

(2)，

【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出，再根据前项和公式计算可得；

（2）依题意得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式与前项和；

【详解】(1)解：由等差数列中，，公差，可得，

解得，所以．

(2)解：由等差数列中，，，可得，解得，所以．

所以．

19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足：．

(1)求角C；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦的诱导公式和两角和的正弦公式，结合正弦定理即可求解；

（2）利用面积公式，结合题目调节得出之间的关系，再根据余弦定理求解即可.

【详解】(1)（1）因为，

所以，

所以原等式转化为：，

由正弦定理得．

因为，

所以．

因为，

所以，

所以，

则．

(2)（2）由，

根据面积公式，得，

所以．

由余弦定理得，

整理得，将代入，

即，

所以，．

所以周长为：．

20．在锐角△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足，，．

(1)求的值；

(2)在BC的延长线上有一点D，使得，求AD和△的面积．

【答案】(1)；

(2)，8.

【分析】（1）由余弦定理先求出，再由正弦定理求.

（2）由（1）及已知可得，应用差角正弦公式求，再由正弦定理求出、AD，最后应用面积公式求△的面积．.

【详解】(1)由余弦定理：，则．

由正弦定理得：．

(2)由（1）及△是锐角三角形得：，

，

在△中，由正弦定理：，即，解得:，，则，

所以.

21．如图，在平行四边形中，，垂足为P.

（1）若，求的长；

（2）设，，，，求x和y的值.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）化简得到，得到答案.

（2），根据三点共线，故，，得到，解得答案.

【详解】解：（1），

解得.

（2）因为，设

所以①，

又因为，，，

所以，

由可知，

展开化简得到，②

联立①②解得，.

22．中，的面积为.

（1）求

（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.

【答案】（1）;（2）

【解析】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可；

（2）设，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再将的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.

【详解】解：（1）因为

所以，

又，所以，

由余弦定理得：，

所以；

（2）设，则，

在中，由正弦定理得：，

即，所以，

在中，由正弦定理得：，

由（1）可得，

则，所以，

所以

，

当时，，

故的面积的最小值为.

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.