2021-2022学年湖南师范大学附属中学高一下学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2021-2022学年湖南师范大学附属中学高一下学期第一次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足，则在复平面内复数z对应的点Z位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知向量a=（k，1），b=（3，2），c=（1，3），且，则实数k的值等于（ ）
A.B.C.6D.8
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ）
A.B.C.D.
4.不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
5.在△ABC中，D为BC上一点，满足BD=2DC，则等于（ ）
A.B.C.D.
6.已知单位向量a，b满足，若向量，则（ ）
A.B.C.D.
7.将函数（）在上单调递增，则的最大值为（ ）
A.6B.5C.4D.1
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.若复数，则
B.若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上
C.若是纯虚数，则实数
D复数的虚部为
10.下列说法正确的是（ ）
A.向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B.若a∥b，则存在唯一实数使得
C.已知a=（1，3），b=（1，1），则a与的夹角为锐角的充要条件是
D.在△ABC中，D为BC的中点，若，则是在上的投影向量
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ）
A.若A＞B.则
B.若，则△ABC一定为等腰三角形
C.若，则△ABC一定为直角三角形
D.若，则△ABC一定是锐角三角形
12.如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数z满足，则________.
14.在△ABC中，已知a=1，，A=30°，则角B=________.
15.已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是________.
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，.（第（1）空2分，第（2）空3分）
（1）若m=n=1，则________.
（2）若m，，则点P的轨迹所对应图形的面积为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本大题满分10分）
已知单位向量，的夹角为，向量，向量.
（1）若a∥b，求x的值；
（2）若，求.
18.（本大题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求a；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
19.（本大题满分12分）
已知向量a=（，），b=（，）（），函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若，是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在（0，）上的值域.
20.（本大题满分12分）
锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=（2a，b），n=（，），且m//n.
（1）求A；
（2）若，求的取值范围.
21.（本大题满分12分）
如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向 km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距10 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站.
（1）若CP=4 km，求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的正切值；
（2）若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？
22.（本大题满分12分）
已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.
（1）若成立，求x的取值范围；
（2）求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；
（3）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
数学参考答案
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 【解析】设，其中a，，则，则，，即，，故，此时z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.
2.C 【解析】由已知，因为，所以，即.故选C.
3.B 【解析】根据余弦定理可知，，又，故有，即，又，解得，故选B.
4.D 【解析】由，故选D.
5.D 【解析】因为，所以，即.故选D.
6.C 【解析】由已知知，，
则，故选C.
7.B 【解析】由题意得，则由，，得，，则函数在区间上单调递增，因为在上单调递增，所以，解得，故选B.
8.C 【解析】由题意可知，为等边三角形，则有，，在中，可求得；如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则有，，由于，故可设P点坐标为且，所以，，所以 ，因为，所以.故选C.
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分；部分选对的得2分.
9.AB 【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：设，代入，得，整理得，即点Z在直线上，故B正确；
对于C：是纯虚数，则，即，故C错误；
对于D：复数的虚部为，故D错误.故选：AB.
10.ACD 【解析】对于A选项：A，B，C，D四点共线向量与共线，反之不成立，所以A正确；
对于B选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数使得，故B错误；
对于C选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，则实数的取值范围是，故C正确；
对于D选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所以是在的投影向量，故选项D正确.故选ACD.
1l.AC 【解析】由正弦定理及大边对大角可知A正确；由得，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，又，则.因为，所以，所以，因为，所以，故C正确；由得，所以C为锐角，但A，B不一定是锐角.故D错误.故选AC.
12.ABC 【解析】对于选项A：连接并延长交于点M，因为G为的重心，所以，又D，C，E三点共线，所以，所以，A正确；
对于选项B：易知，选项B正确；
对于选项C，D：由A可知，，所以，当且仅当时等号成立，所以，则，所以选项C，D错误.故选ABC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【解析】由已知得，所以，故.
14.60°或120° 【解析】由正弦定理，得，所以或120°.
15. 【解析】由函数的图象可知，，令，则，所以，令，则，所以.
16.（1）；（2） 【解析】∵，，为的外接圆，
∴，，.
（1）若，则，
.
（2）若m，，则点P的轨迹：
当，时，，此时点P在线段上；
当，时，，此时点P在线段上；
当，时，，构造平行四边形，此时点P在线段上（如图1）；
当，时，，构造平行四边形，此时，点P在线段上；
当m，时，，此时，点P在菱形内部，（如图3）；
综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）因为，所以存在实数，使得，
即，……2分
则有，，
解得………5分
（2）由，有，……6分
即，
解得，……8分
故，所以.……10分
18.【解析】（1）因为，
由余弦定理得，……1分
化简得，即，
因为，则.……5分
（2）由，，得，解得，……7分
由，即，即，
由，得，……11分
故，所以的周长为3.……12分
19.【解析】（1）由已知
.……3分
当时，，令，
得，即，
∴函数的单调递增区间为.……6分
（2）由（1）知，令，得，
所以，.
当最小时，可取，，即，，则.
因为，则，故.……9分
因为，所以，，
所以函数在上的值域为.……12分
20.【解析】（1）因为，所以有，……2分
由正弦定理可得：，……4分
又因为，所以，又，解得……6分
（2）由正弦定理可知：，
则，……8分
又为锐角三角形，故且，解得，
又，……10分
由于，则，由正弦函数图象可知.……12分
21.【解析】（1）解法1：设，由题意知，，，，所以，即，，在中，，
由正弦定理得，，即，
化简得，即，
所以此时在P处观察全岛所张视角的正切值为.……5分
解法2：过点B分别作，的垂线，垂足为D，E，
设，由题意知，，，，，
所以，即，，.
所以，，由，
得.
所以此时在P处现察全岛所张视角的正切值为.……5分
（2）设，由（1）得，
当时，点P在点D的右侧，，则，
当时，点P在点D的左侧，，则.
又，则当，且时，
有.
当时，点P与点D重合，，满足上式，
所以.……8分
令，则，
因为，则，当且仅当，
即，时取等号，此时取最大值.……11分
因为为锐角，所以当时取最大值.
答：点P应选址在点C正东方向处.……12分
22.【解析】（1）由，
得，
则.……2分
解得，所以x的取值范围是，.……4分
（2）当时，；则；
当时，，则.
所以……6分
的单调递减区间是，，递增区间是.……7分
（3）因为，所以
由，得或或.
由的图象知，恒成立或，……8分
即或.
即或恒成立.……9分
因为，则不恒成立.
因为，，
则恒成立.……11分
所以t的取值范围是.……12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
D
D
C
B
C
题号
9
10
11
12
答案
AB
ACD
AC
ABC