2021-2022学年四川省成都市成都市树德中学高一下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省成都市成都市树德中学高一下学期4月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，故选A.
2．若平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】利用内积的模长运算化简，即可得出答案.
【详解】因为：
所以：.
故选：A.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【详解】∵，∴，
则，
故选：C
4．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】化简得，再由余弦定理计算，即可求得答案.
【详解】由得，，
由余弦定理得，
因为，所以.
故选：C
5．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】B
【分析】将函数等价为，再利用基本不等式即可求出答案.
【详解】因为.
所以.
当且仅当“”即时取“=”.
故选：B.
6．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理得到或，即可判断.
【详解】在中，对于 ，
由正弦定理得：，即，
所以或
即或.
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
8．已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出、.则可求出.
【详解】如图所示：记于点.
由题意知：，..
在中：.
在中：.
所以.
故选:C.
10．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由基本不等式的乘“1”法计算最小值.
【详解】因为，所以
，
当且仅当时，取等号，的最小值是.
故选：D
11．设是的重心，且满足等式，
则（ ）
A．45°B．60°
C．90°D．120°
【答案】B
【分析】由三角形重心的性质可得出，由正弦定理的角化边公式化简得出，，再由余弦定理求出.
【详解】∵，又是的重心
∴，观察类比得：
由正弦定理知：，则，
即得，∴
故选：B．
【点睛】本题是向量与解三角形交汇问题，考查了向量的相关知识和正余弦定理，同时考查了考生观察、联想、类比、化归和推理运算求解能力，这体现了数学等价转化、直观想象等核心素养．本题难度：中．
12．在梯形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得, 两式相除化简即得解.
【详解】解：令
.
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得,
两式相除得
所以.
故选：A
二、填空题
13．函数的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
14．若，则_________．
【答案】
【分析】由题意，根据两角和与差的正弦公式计算并化简，即可求解.
【详解】由，得，
即，
，
得
.
故答案为：
【点睛】解答本题的关键是利用两角和与差的正弦公式代入化简，再由三角函数的平方关系代入替换，即可求解答案.
15．如图，直径的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，，线段上有动点P，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】由数量积的定义求解
【详解】过点作的垂线，交于点
可得
当在点时，取最小值4，当在点时，取最大值8
故答案为：
16．在中，若，则的最小值为_________．
【答案】（或）
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开化简得，再利用两角和的正切公式与基本不等式求解答案.
【详解】由题意，，
，
，
得，
所以，
当且仅当时，取等号.
故答案为：
【点睛】求解本题的关键是利用，得，从而利用两角和与差的余弦和正切公式展开求解.
三、解答题
17．已知，，，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据的范围，利用同角三角函数可求得，从而构造，利用两角和差正弦公式求解得到结果；
（2）根据同角三角函数求出；根据两角和的正切公式求得结果.
【详解】（1），
，
.
（2），则由（1）可知，，，
，.
18．在中， 分别是角的对边，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦,去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简,再由诱导公式变形求出的值,即可确定出的大小;
（Ⅱ）由的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将以及的值代入求出ac的值,再由的值,利用三角形面积公式即可求出面积.
试题解析：
（Ⅰ）由，
得.
∴.
∴.
∴.
又，
∴.
（Ⅱ）由，得，
又，
∴.
∴.
19．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若平分线交于点，求的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinB≠0，可得，利用三角形内角和化简，进而可求A的值（2）由已知利用三角形的面积公式可得，即可求解.
【详解】如图：
（1），
∴由正弦定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
∴由，可得．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
21．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，
由正弦定理，
同理在中，，
由正弦定理
令
时，即，的最大值为5．
【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
22．已知函数，其中．
(1)求使得的取值范围；
(2)为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，再结合的图像，即可解出不等式.
（2）由可得：；化简可知：.利用正弦定理将变化为角，用角表示出，再根据角的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】(1)由题意得：.
令，得
即，
故x的取值范围为．
(2)，则，又，则，
由正弦定理，可知，则
∴
又为锐角三角形，则.
则，
∴
【点睛】本题考查三角函数与解三角形.属于难题.涉及到解三角形中的取值范围问题时，常常会用角表示出参数，再利用三角函数的有界性求出参数的取值范围.