2020-2021学年吉林省长春市第二实验中学“BEST合作体”高一下学期期末考试数学试题含解析

这是一份2020-2021学年吉林省长春市第二实验中学“BEST合作体”高一下学期期末考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】解：
故选：B
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条B．4条
C．6条D．8条
【答案】D
【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.
【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
3．已知向量、满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，即可解得实数的值.
【详解】由已知可得，所以，.
故选：A.
4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合样本容量的计算公式即可.
【详解】由频率分布直方图可知，
支出在的同学的频率为：
，
故选：
5．如图，，，分别是的边，，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可
【详解】A.项 且利用中位线性质有平行
故
B.项 ，且平行
故
C.项 由向量加法运算有
D.项 ，不成立
故选：D
6．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
【答案】C
【分析】根据第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，结合百分位的定义求解即可.
【详解】因为100×75%=75为整数，
所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，
所以，这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3，
故选:C.
7．中，AB=4，BC=3，CA=2，则其最大内角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形中大边对大角，知最大，结合余弦定理即可得到正确选项.
【详解】由题意知，中，最大，
故由余弦定理得：.
故选：C.
8．国家统计局2021年1月的统计数据显示，我国2010-2019年未成年人犯罪人数所占比重如图所示，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．我国2010-2018年未成年人犯罪比重持续下降
B．与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降4.19个百分点
C．我国2019年我国未成年人犯罪的人数多于2018年我国未成年人犯罪的人数
D．2010--2019年我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为3.91%
【答案】C
【分析】根据统计图表中的数据逐项分析可得答案.
【详解】我国2010-2018年未成年人犯罪比重持续下降,故A正确，
与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降为个百分点，故B正确，
由于所有犯罪的人数未知，虽然2019年未成年人犯罪人数所占比重大于2018年，但无法确定2019年我国未成年人犯罪的人数是否多于2018年我国未成年人犯罪的人数，故C不一定正确，
2010--2019年，犯罪人数所占比重从小到大依次为由中位数的定义判断可知, 我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为，故D正确.
故选：C.
9．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（ ）
A．15米/秒B．15米/秒
C．20米/秒D．20米/秒
【答案】A
【分析】根据题意可得，再除以时间即可得解.
【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，
所以，
由A东偏南，B东偏南，
所以，
所以为等腰三角形，所以，
由，所以速度为米/秒，
故选：A
10．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．60米B．100米C．130米D．160米
【答案】C
【分析】先求出，再代入球冠的表面积公式，即可得到答案；
【详解】由题意得：，
，,
故选：C.
11．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【答案】C
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.
12．在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱、、的长度分别为10m、15m、30m，则立柱的长度是（ ）
A．30mB．25mC．20mD．15m
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】由题意知四边形是平行四边形，，
则和的差额 与和的差额相等，即立柱的长度是．
故选：B．
二、填空题
13．某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则为__________．
【答案】9
【分析】先根据果蔬类抽取的种类数计算出抽样的比例，乘以食品总的种类数得到样本容量.
【详解】由果蔬类抽取种可知，抽样比为，故.
【点睛】本小题主要考查分层抽样的知识和计算，考查运算求解能力，属于基础题.
14．若复数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则_______．
【答案】
【分析】利用数量积为列方程，解方程求得.
【详解】对应坐标为，
对应坐标为，
依题意，
解得.
故答案为：
15．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．
【答案】
【分析】这是一个古典概型，先利用列举法得到从中不放回地任取2件的基本事件，再找出恰有1件是次品的基本事件，代入公式求解.
【详解】设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．
其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，
所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为P＝.
故答案为：
三、双空题
16．从下列四个条件①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的的值为_____.
【答案】 ①③④或②③④ 或
【分析】由①②结合正弦定理可得，，此时不唯一，故所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④；
若选①③④，由余弦定理可求得答案；
若选②③④，求得，由正弦定理可求得答案．
【详解】解：由①②结合正弦定理可得，，
∴，此时不唯一，故所选条件中不能同时有①②，
故只能是①③④或②③④，
若选①③④，，，，
由余弦定理可得，，化简得，，
解得，，或（舍去）；
若选②③④，，，，
∴，且为钝角，
由正弦定理可得，，
解得，；
故答案为：①③④，；②③④，．
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题．
四、解答题
17．如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E，分别为PB，PC的中点．
Ⅰ求证：平面ADE；
Ⅱ求证：平面PAB．
【答案】Ⅰ见解析Ⅱ见解析
【分析】（Ⅰ）由D、E分别为PB、PC的中点，得DE∥BC，由此能证明BC∥平面ADE；
（Ⅱ）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．
【详解】证明：Ⅰ在中，、E分别为PB、PC的中点，
，平面ADE，平面ADE，
平面ADE．
Ⅱ平面ABC，平面ABC，，
，，
平面PAB．
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68
1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31
（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；
频率分布表：
频率分布直方图：
（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．
【答案】（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：，答案见解析．
【分析】（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.
（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.
【详解】（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
（2）根据频率分布直方图估算平均值为：
，
分布规律：
①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间；
②汞含量在区间的鱼最多，汞含量在区间的次之，在区间的最少；
③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．
19．如图，长方体中，；
(1)求异面直线和所成角的正切值；
(2)求三棱柱的体积和表面积.
【答案】(1)
(2)体积，表面积.
【分析】（1）因为，所以与所成的角即为与所成的角，从而得到结果；
（2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果.
【详解】(1)在长方体中，因为，
所以与所成的角即为与所成的角，即（或补角），
，
所以异面直线和所成角的正切值为；
(2)易知三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形，
所以．
又为三棱柱的高，
所以，
又四边形为矩形，，
所以，
故所求表面积
.
20．一个袋中有个大小之地都相同的小球，其中红球个，白球个，黑球个，现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，连续取两次.
（1）设表示先后两次所取到的球，试写出所有可能抽取结果；
（2）求连续两次都取到白球的概率；
（3）若取到红球记分，取到白球记分，取到黑球记分，求连续两次球所得总分数大于分的概率.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根据题意列举出所有可能抽取的结果即可；
（2）设事件连续取两次都是白球，列举出事件所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出事件的概率；
（3）设事件连续两次分数之和为，设事件连续两次得分之和为分，利用古典概型的概率公式求出、，相加即可得出结果.
【详解】（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红）、（红，白）、（红，白）、（红、黑）、（白，红）、（白，白）、（白，白）、（白，黑）、（白，红）、（白，白）、（白，白）、（白，黑）、（黑，红）、（黑，白）、（黑，白）、（黑，黑），
所以，基本事件的总数为；
（2）设事件连续取两次都是白球，则事件所包含的基本事件有：（白，白）、（白，白）、白，白）、（白，白），共个，
所以，；
（3）设事件连续两次分数之和为，设事件连续两次得分之和为分，
设事件连续两次分数之和大于，
则事件包含的基本事件有：（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红），共个，
事件所包含的基本事件有：（红，红），共个，
，，因此，.
【点睛】本题考查基本事件的列举，同时也考查了古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
21．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）及的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】选择条件①：（1）由余弦定理和题设条件，列出方程即可求得的值；
（2）由（1）得到，即是等边三角形，结合面积公式，即可求解.
选择条件②：（1）由，得到，根据正弦定理求得，进而求得的值；
（2）由，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】选择条件①：
（1）因为，，
由余弦定理，即，
又由，代入可得，
即，解得，．
（2）由（1）可得，所以，即是等边三角形，
所以，可得，
所以．
选择条件②：
（1）因为，且，可得，
由正弦定理，可得，
又因为，所以，即，
又因为，所以，．
（2）由
，
所以．
22．年月日是第个“世界家庭医生日”．某地区自年开始全面推行家庭医生签约服务．已知该地区人口为万，从岁到岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了名年满周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图所示：
（1）国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①岁以上人口占比达到以上；②少年人口（岁以下）占比以下；③老少比以上；④人口年龄中位数在岁以上．请任选两个角度分析该地区人口分布现状；
（2）估计该地区年龄在岁且已签约家庭医生的居民人数；
（3）据统计，该地区被访者的签约率约为，为把该地区年满岁居民的签约率提高到以上，应着重提高图中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．
【答案】（1）答案见解析；（2）万人；（3）应着重提高年龄段岁的签约率，答案见解析．
【分析】（1）根据频率分布直方图可得出结论；
（2）根据折线统计图可得出岁且已签约家庭医生的频率，乘以万可得结果；
（3）根据频率分布直方图、折线统计图计算出每个年龄段的签约率，由此可得出结论.
【详解】解：（1）①岁以上人口比例是：；
②少年（岁以下）人口比例小于；
③老少比大于；
④由于岁人口比例，所以年龄中位数在岁范围内.
所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化；
（2）由折线统计图可知，该地区年龄在岁且已签约家庭医生的居民人数（万人）；
（3）由图、可知该地区年龄段岁的人口为万之间，签约率为；
年龄段岁的人口数为万，签约率为；
年龄段岁的人口数为万，签约率为；
年龄段岁的人口数为万，签约率为；
年龄段岁的人口数为万，签约率为；
年龄段岁以上的人口数为万，签约率为．
由以上数据可知，这个地区在岁这个年龄段人数为万，基数较其他地区是最大的，且签约率仅为，比较低，所以应着重提高此年龄段的签约率.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
分组
频数
频率
1
合计
30
1
分组
频数
频率
3
10
12
4
1
合计
30
1