2021-2022学年江西省新余市第一中学高一下学期开学考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省新余市第一中学高一下学期开学考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法和集合补集的运算，求得集合和，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合或，
又由集合，可得或，
所以或.
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对全程量词的否定用存在量词，直接写出其否定.
【详解】因为对全程量词的否定用存在量词，
所以命题“”的否定是“”.
故选：D
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【详解】“”“”，
“” “”，
“”是“”的充分而不必要条件，
故“”是“”的的充分而不必要条件，
故选：．
4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】从4张卡片上分别写有数字1，2，3，4中随机抽取2张的基本事件有：
12，13，14，23，24，34，一共6种，
其中数字之积为偶数的有：12，14，23，24，34一共有5种，
所以取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为，
故选：D
5．的零点所在的一个区间为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零点存在性定理分析判断即可
【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，
因为，
，
所以，
所以的零点所在的一个区间为，
故选：A
6．如图所示的是收集某城市在一月的气象采集点处的平均气温(单位：)的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清．已知各采集点的平均气温范围是，且平均气温低于的采集点个数为，则平均气温不低于的采集点个数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据频率分布直方图直接计算即可.
【详解】由图可知，平均气温在和的频率相等，且组距为，
所以平均气温在的频率是，
低于的频率是，
而平均气温低于的采集点个数是，
所以样本容量为，
则平均气温不低于的采集点个数为，
故选：D．
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.
【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.
当时，，排除B.
，函数只有1个零点，排除C.
故选：D
8．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足，若关于x的方程有唯一的实数解，则实数的值为（ ）
A．B．－C．1D．－1
【答案】C
【分析】构造函数方程并根据奇偶性可求得函数的解析式；转化为
有唯一解，构造偶函数，根据偶函数的对称性列式可求得结果.
【详解】，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
，，
，
又①，
②
①+②：，，
令
由于，故为偶函数
当且仅当时为唯一零点，，解得.
故选：C
二、多选题
9．下表记录了某地区一年之内的月降水量
对于上述表格中的数据，说法正确的是（ ）A．该年份月降水量的极差是25mmB．该年份月降水量的众数是53mm和56mm
C．该年份月降水量的25％分位数是52mmD．该年份月降水量的中位数是56mm
【答案】ACD
【分析】A. 利用极差的定义判断；B.利用众数的定义判断；C.利用百分位数的定义判断；D.利用中位数的定义判断.
【详解】A. 该年份月降水量的极差是71-46=25mm，故正确；
B.该年份月降水量的众数是56mm，故错误；
C.该年份月降水量从小到大为46，48，51，53，53，56，56，56，56，58，64，66，71，，
所以年份月降水量的25％分位数是，故正确；
D. 该年份月降水量从小到大为46，48，51，53，53，56，56，56，56，58，64，66，71，
所以该年份月降水量的中位数是，故正确；
故选：ACD
10．若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角D．是第三或第四象限角或轴负半轴上
【答案】BD
【分析】因为是第二象限角，得到，结合选项和角的表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】因为是第二象限角，可得,
对于A中，可得，此时位于第三象限，所以A错误；
对于B中，可得，
当为偶数时，位于第一象限；当为奇数时，位于第三象限，所以B正确；
对于C中，可得，
即，所以位于第一象限，所以C不正确；
对于D中，可得，所以位于第三、第四象限角或轴负半轴，所以D正确.
故选：BD
11．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由条件，利用作差可判断选项A，利用基本不等式可判断选项B，利用中间值可判断选项CD.
【详解】由，则
，所以，故A不正确；
因为，只有时等号成立，但，故，故B不正确；
因为，，
所以，故C正确；
因为，故，，
所以，故D正确．
故选：CD．
12．已知函数（，e为自然对数的底数），则（ ）
A．函数至多有2个零点B．当时，对，总有成立
C．函数至少有1个零点D．当时，方程有3个不同实数根
【答案】ABC
【分析】作出函数和函数的图象，观察图象逐项分析即可得出答案.
【详解】画出的图象，如图，
当时，，没有零点，有一个零点，
所以函数有一个零点；
当时，有一个零点，有一个零点，
所以函数有两个零点；
当时，有一个零点，没有零点，
所以函数有一个零点，
所以函数至多有2个零点，至少有1个零点，所以选项AC正确；
当时，是增函数，是增函数，
且，，所以是增函数，选项B 正确；
当时，，由得，，
所以由得或.
由得，；由得，，
所以当时，方程有4个不同实数根，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点（2，），则___________
【答案】
【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可.
【详解】由题设，若，则，可得，
∴，故.
故答案为：
14．已知函数满足，且当时，，则________．
【答案】
【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，结合，代入即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
可得，可得函数是周期为4的函数，
又因为当时，，
所以.
故答案为：.
15．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，则此时方差________．
【答案】1.6
【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.
【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以.，所以.
当加入新数据4，5，6后，平均数，
方差.
故答案为：
16．对于定义在R上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点．若函数存在两个不动点，则实数的取值范围是___．
【答案】.
【分析】根据题意，转化为当时，函数只有一个不动点，转化为和的图象只有一个交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，函数 存在两个不动点，
当时，令，可得，解得，即是函数的一个不动点；
要使得函数有两个不动点，则当时，函数只有一个不动点，
即当时，方程有且仅有一个实数根，
即和的图象只有一个交点，
在坐标系内作出函数和的图象，如图所示：
结合图象，可得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求sin的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用三角函数的定义直接求解；
（2）先求出角，即可写出与角终边相同的角的集合；
（3）过O作于H，表示出，，分别表示出扇形面积和三角形面积，即可求出弓形AB的面积.
【详解】(1)因为角的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以.
由三角函数的定义，可得：.
(2)当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则，即，
所以，即与角终边相同的角的集合.
(3)
弓形AB的面积:.
扇形的圆心角为，所以.
过O作于H，则，，
所以.
所以.
18．已知集合，．
(1)，求实数a的取值范围；
(2)设，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，，由，利用两个集合左右端点的大小关系得出实数的取值范围．
（2）根据题意可得，推不出，即是的真子集，进而得出实数的取值范围．
【详解】(1)由题意，
．
，
或
或
实数的取值范围是．
(2)命题，命题，是的必要不充分条件，
，推不出，即是的真子集，
，解得：．
实数的取值范围为．
19．甲乙两人用两颗质地均匀的骰子（各面依次标有数字1、2、3、4、5、6的正方体）做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷，否则由对方接着投掷．第一次由甲投掷．
(1)求第二次仍由甲投掷的概率；
(2)求游戏的前4次中乙投掷的次数为2的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用古典概型求概率的计算公式求得结果．
（2）游戏的前4次中乙投掷的次数为2，包含3种情况，根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式，可计算结果．
【详解】(1)求第二次仍由甲投，说明第一次掷出的点数之和为3的倍数，所有的情况共有种，
其中，掷出的点数之和为3的倍数的情况有、、、、、，、
、、、、，共计12种情况，
故第二次仍由甲投掷的概率为．
(2)由（1）可得掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数的概率为，所以两颗骰子点数之和不为3的倍数的概率为，
游戏的前4次中乙投掷的次数为2，可能乙投掷的次数为第二次第三次，则概率为，
或第二次第四次，则概率为，或第三次第四次，则概率为，
以上三个事件互斥，所以其概率为.
20．2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．
(1)请求出该小组同学①式的人口增长模型；
(2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
①求满足的正整数k的最小值．
②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
【答案】(1)
(2)①24 ；②不能；理由见解析
【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型，
（2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，
②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论
【详解】(1)由题意可得，则，，
所以，所以，
所以．
(2)①由，得，所以，
化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，
②由①当时，，所以当时，最大，
，即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．
21．已知函数．
(1)若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得函数在[a，b]上的值域为[2a，2b]，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用图像法求解；
（2）假设存在实数m，符合题意，转化为关于x的方程两个不等正根，列不等式组，即可求出实数m的取值范围.
【详解】(1)因为函数在上有且仅有一个零点，
所以的图像与只有一个交点.
作出图象如图所示：
由图像可得：当时，；当时，；当时，；
所以要使的图像与只有一个交点，只需或，
故实数k的取值范围.
(2)假设存在实数m，符合题意.
因为，所以.
因为和在[a，b]（其中a>0）上单调递增，所以在[a，b]上单调递增.
所以函数在[a，b]上的值域为，
所以，所以a、b是关于x的方程两个不等正根，
只需：解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
22．已知函数．
(1)若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数的值；
(2)用表示，中的最大值，设函数恰有2个零点，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设分、、情况讨论可得m的值；
（2） 分、、、情况结合图象进行讨论可得答案.
【详解】(1)，，
设，，，
①若即时，，，
②若，即时，，舍去，
③若即时，，无解舍去，
综上所示：.
(2)①当时，
，
在无零点，不符合题意；
②当时，
，
在无零点，不符合题意；
③当时，，
，舍去，
④时，令，，令解分别为，，
，
令与的交点分别为，不妨令，
当时，
当时，
当时，如图所示，
所以有两个零点，符合题意.
综上：.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月降水量/mm
58
48
53
46
56
56
51
71
56
53
64
66