2021-2022学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期4月阶段检测数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期4月阶段检测数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．求值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】
故选：C
2．设与是不共线的非零向量，且与共线，则的值是（ ）
A．1B．C．D．任意不为零的实数
【答案】C
【分析】根据向量共线的关系，可写出两个向量共线的充要条件，整理出关于的关系式，解方程组即可.
【详解】解：因为与共线，则可设，由于，是非零向量，
即，则 ，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量共线的充要条件.本题的关键是写出两共线向量的关系式.
3．的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，从而判断出三角形形状．
【详解】解：，所以.在中，，故，
因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.
故选：C．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据解析式判断奇偶性，再结合零点个数以及特殊值法进行判断.
【详解】解：由题意得：
由可判断函数为奇函数，可判断A错误；
又由三角函数的性质可知函数有无数个零点，故C错误；
当时，，由此排除B；
故选：D
5．已知单位向量，满足，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据模的运算先求出，进而解出.
【详解】由题意，，由，所以.
故选：C.
6．求值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用两角差正切公式即可.
【详解】 ，
；
故选：A.
7．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
，
，
因为，，所以，
因为，而，，
所以，因此，故，
故选：C
8．在中，内角，，的对边分别为，，，，D是边上的点（异于点，），，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，
所以有，
即，因为，当且仅当时取等号，
所以有，
故选：D
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，，不共线，则D．若，在上的投影向量为，则的值为2
【答案】ACD
【分析】运用平面向量的基本定理和有关的运算规则逐项分析即可.
【详解】对于A，根据平面向量相等的定义，正确；
对于B，若 ，则不能推出 ，错误；
对于C，根据平面向量基本定理，正确；
对于D，由投影向量的定义可知， 在 上的投影向量 ，
， ，
，正确；
故选：ACD.
10．下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；
【详解】解：对于A：
而，故A错误；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：BD
11．在锐角三角形ABC中，下列命题成立的是（ ）
A．，，则B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解
【详解】因为在锐角三角形中，所以，均为锐角
对于A，，得，，所以，；所以，A正确；
对于B，若，整理得，化简得，所以，，为钝角，与题意不符，B错误；
对于C，若，则，化简得
，因为均为锐角，所以，必有，得，符合均为锐角，所以，C正确；
对于D，因为均为锐角，得，所以，，
所以，，
所以，成立，D正确；
故选：ACD
12．双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，下列正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】按照函数的定义，将 和 代入即可运算出结果.
【详解】对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， ，正确；
对于D，
，错误；
故选：ABC.
三、填空题
13．已知，则__________．
【答案】1
【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.
【详解】，
原式.
故答案为1.
【点睛】(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．
(2) 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
14．若，且，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标运算直接计算可得.
【详解】因为
所以
由
所以，得
故答案为：
15．已知是第二象限的角，，则__________．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系先求，然后用诱导公式化简目标式代入可得.
【详解】因为是第二象限的角，，
所以，
所以
故答案为：
四、双空题
16．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知，为圆的内接四边形的两条对角线，已知，若，则圆的半径为__________；若，则实数的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用圆的内接四边形对角的关系结合已知可求得的边长，然后由余弦定理求角，再由正弦定理可得圆的半径；再在由余弦定理结合已知表示出，使用基本不等式可得最小值.
【详解】因为四边形内接于圆，
所以，所以
因为
所以，即
又，所以
在中，由余弦定理可得
所以，
记四边形的外接圆半径为R，则，所以.
由上可知，，在中，记
则由余弦定理得，即
又由托勒密定理知，，
即，得
又
所以，
得
当且仅当，即时取等号
所以的最小值为.
故答案为：
五、解答题
17．已知为锐角，，，求和的值．
【答案】，.
【分析】利用和平方关系先求，再由平方关系求，然后再由余弦的两角差公式可得.
【详解】

18．在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积为.
(1)求的值；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式得到，即可得到，从而求出；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出，最后利用正弦定理计算可得；
【详解】(1)解：因为，又，所以，所以，又，；
(2)解：因为，，
由正弦定理，可得；
19．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有两个不等的实数根，且，
①求的取值范围；
②求.
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（1）根据图像先求，再求得到，再代入点的坐标求出即可；
（2）先求单调性，确定的取值范围，再根据的对称轴得到的值，求解计算即可.
【详解】(1)根据函数图像得：，，
所以，所以，所以，
因为函数图像过点，所以，所以，
所以.
(2)根据题意，所以，
当时，单调递增，当时，单调递减，
因为，，，
所以若在上有两个不等的实数根，则，
因为函数关于直线对称，所以，
所以，所以.
20．如图中，D为的中点，E为的中点，，令，.
(1)试、表示；
(2)延长交于，设，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用、表示出，再由得出答案.
（2）用、表示出.再利用，若三点共线，.即可列出等式，计算出答案
【详解】(1)
(2)
又
21．今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为的扇形区域，为弧的中点，设.
(1)用来表示矩形的面积，并指出的取值范围；
(2)为多少时，取得最大值，并求出此最大值.
【答案】(1)，
(2)时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）设，分别交于，，
根据题意得到；
（2）由（1）中函数知，当时取最值.
【详解】(1)设，分别交于，
，，，

，
(2)由（1）可得，当，即
22．函数.
(1)若，，求函数的值域；
(2)当，且有意义时，
①若，求正数的取值范围；
②当时，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）当时，求得，令，令，，利用双勾函数的单调性可得出函数在上的值域，即可得解；
（2）①分析可知，可得出，分、两种情况讨论，化简函数的函数解析式或求出函数的最小值，综合可得出正实数的取值范围；
②令，则，可得出，分析可得出，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求得.
【详解】(1)解：当时，，
因为，则，令，
则，可得，
设，其中，
令，则，
令，其中，下面证明函数在上单调递增，在上单调递减，
任取、且，则
，
当，则，此时，
当，则，此时，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
因此，函数在上的值域为.
(2)解：因为，则，令，
设，
①若，必有，因为，则，
当时，即当时，则，可得，合乎题意；
当时，即当且时，则，合乎题意.
综上所述，；
②令，则，
则，
令，下面证明函数在上单调递减，在上为增函数，
任取、且，则，，
所以，，
所以，，故函数在上单调递减，
同理可证函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，
因为，则，
且，所以，，
又，，
，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
在上为减函数，在上为减函数，
当时，，
，
，
由双勾函数性质可得，
综上所述.
【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果.